2020/01/14 ウォリスの公式

本日のお題

次の不定積分の求め方を教えてください
\(\qquad\begin{array}{l} 1.\quad\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x\,dx \\ 2.\quad\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{10}x\,dx \end{array}\)

はい,承知しました
この計算は,次の公式を知らないと,ちょっと厳しいですね

ウォリスの公式

\[\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}\,dx = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdot\ \cdots\ \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\quad(n:\mbox{even})\\[4px] \displaystyle \frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdot\cdots\cdot\frac{2}{3}\cdot{1}\quad(n:\mbox{odd}) \end{array}\right.\]

このことを知っていれば,アッと言う間に計算が完了します \[\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7{x}\,dx &=& \frac{6}{6}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{16}{35} \\[4px] \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}{x}\,dx &=& \frac{9}{10}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{63\pi}{512} \end{eqnarray}\]

それでは,ウォリスの公式を証明しましょう
部分積分を使いますが,この証明は 高等学校 数学Ⅲ の教科書にも載っています \[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}\,dx\] とおくと,次のようにして \(I_n\)\(I_{n - 2}\) の間の漸化式が得られます \[\begin{eqnarray} I_{n} &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\cdot\sin^{n - 1}{x}\,dx \\[4px] &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-\cos{x}\right)'\cdot\sin^{n - 1}x\,dx \\[4px] &=& -\Big[\,\cos{x}\cdot\sin^{n - 1}x\,\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\cdot(n - 1)\sin^{n - 2}x\cos{x} \\[4px] &=& (n - 1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{x}\sin^{n - 2}x\,dx \\[4px] &=& (n - 1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1 - \sin^2{x})\sin^{n - 2}\,dx \\[4px] &=& (n - 1)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n - 2}\,dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}\,dx\right)\\[4px] &=& (n - 1)I_{n - 2} - (n - 1)I_n\\[4px] &&\begin{array}{l} ∴\quad nI_n = (n - 1)I_{n - 2} \\[4px] \displaystyle \textcolor{red}{∴\quad I_n = \frac{n - 1}{n}I_{n - 2}}\end{array} \end{eqnarray}\] また,\[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\,dx = \frac{\pi}{2} \\[4px] \displaystyle I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\,dx = \Big[\,-\cos{x}\,\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 \end{array}\right.\]

以上から,\(n\) が偶数のとき
\(\displaystyle\hspace{2em}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}\,dx = \frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdot\ \cdots\ \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\)

\(n\) が奇数のとき
\(\displaystyle\hspace{2em}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}\,dx = \frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdot\ \cdots\ \cdot\frac{2}{3}\cdot{1}\)

の成り立つことが示されました

さらに,\(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} - t\) による置換積分を施せば,\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n{x}\,dx\) についても同様に次が得られます

\[\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n{x}\,dx = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdot\ \cdots\ \cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\quad(n:\mbox{even})\\[4px] \displaystyle \frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdot\cdots\cdot\frac{2}{3}\cdot{1}\quad(n:\mbox{odd}) \end{array}\right.\]

なお,ウォリスの公式 と呼ばれる公式には次のものもあります
ただし,私が若い頃から愛用しています 数学辞典(朝倉書店)によりますと,こちらは「ウォリスの \(\pi\) の公式」となっています

ウォリスの \(\pi\) の公式

\[\frac{\pi}{2} = \prod_{k = 1}^{\infty}\frac{2k}{2k - 1}\cdot\frac{2k}{2k + 1}\]

Last modified: Thursday, 13 August 2020, 6:38 AM