2019/07/25 定積分を求めるための工夫

ハイッ!! 承知しました。と言ったものの，何だか変な積分ですねぇ。

このようなときには，悪足掻きをする前に機械の手を借りるのが得策です。思ったとおり，GeoGebra と Maxima は計算をしてくれません。Wolfram Alpha は流石ですねぇ。 \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^x}\,dx = 1\] と計算結果を返してくれます。ということは・・・普通には行かないのですネ。

さて，どのような手を使いましょうか。何となく頭の片隅に \[I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x}\,dx \tag{1}\] という割と最近解いた問いが浮かびました。この問い，大学入試問題としては極普通にあるものです。勿論， \[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x}\,dx = I \tag{2}\] であることを示せというような誘導のための問いが付きます。\(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} - t\) という置換を行えば，\((2)\) は簡単に示すことができ，\((1)\) と \((2)\) から \[2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1 - \frac{1}{2}\sin 2x\right)\,dx\] これで解決です・・・というような話しをしているうちに，件の学生さんが「\(x = -t\) の置換をするとか言っていたような・・・聞き間違いかもしれないけど!!」「早く言ってよ，それ。」と私。ヒントなしで出すような積分じゃないでしょう。

うん，上の例と同じようにできそうですね。\(x = -t\) としましょう。 \[dx = -dt \ ,\quad \begin{array}{c|ccc} x & -\frac{\pi}{2} & \to & \frac{\pi}{2} \\ \hline t & \frac{\pi}{2} & \to & -\frac{\pi}{2} \end{array}\] \[\begin{eqnarray} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^x}\,dx &=& \int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(-t)}{1 + e^{-t}}\,(-dt) \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{1 + e^{-t}}\,dt \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^{-x}}\,dx \end{eqnarray}\] が成り立ちます。そこで，次の計算をします。 \[\begin{eqnarray} && \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^x}\,dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^{-x}}\,dx \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\left(\frac{1}{1 + e^x} + \frac{1}{1 + e^{-x}}\right)\,dx \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cdot\frac{1 + e^{-x} + 1 + e^{x}}{(1 + e^x)(1 + e^{-x})}\,dx \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cdot\frac{2 + e^x + e^{-x}}{1 + e^x + e^{-x} + 1}\,dx \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cdot\frac{\cancel{2 + e^x + e^{-x}}}{\cancel{2 + e^x + e^{-x}}}\,dx \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx \\ &=& \Big[\,\sin x\,\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=& 2 \end{eqnarray}\] \(\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^x}\,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^{-x}}\,dx\) を用いれば，以上のことから \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1 + e^x}\,dx = 1\] ミッション完了です。