2018/12/29 導関数の定義にしたがって微分する
本日の質問
関数 \(f(x) = \sin x^2\) を定義にしたがって微分したいのですが，どのようにしたら良いか分かりません。教えてください。
この問題は，授業の課題として与えられたものです。ある時期，複数の学生さんが質問にやって来ました。どの学生さんのノートにも悪戦苦闘の跡が見られました。力業で求めようとしていたので，合成関数として見るべきでは？ とアドバイスをしました。
導関数の定義
\[\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]
\[f'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x + h)^2 - \sin x^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x + h)^2 - \sin x^2}{(x + h)^2 - x^2} \cdot \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \end{array}\]
合成関数と考えれば，上のような変形が考えられます。
ここで，\((x + h)^2 - x^2 = H\) とすると \((x + h)^2 = x^2 + H\) となり，さらに \(h \to 0\) のとき \(H \to 0\) です。すると・・・
\[f'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x^2 + H) - \sin x^2}{H} \cdot \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2\cos\frac{(x^2 + H) + x^2}{2} \cdot \sin \frac{(x^2 + H) - x^2}{2}}{H} \cdot \frac{x^2 + 2hx + h^2 - x^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(x^2 + \frac{H}{2}\right) \cdot \sin\frac{H}{2}}{H} \cdot \frac{2hx + h^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \cos\left(x^2 + \frac{H}{2}\right) \cdot \frac{\sin \frac{H}{2}}{\frac{H}{2}} \cdot \frac{\cancel{h}(2x + h)}{\cancel{h}} \\ \displaystyle = \cos x^2 \cdot 2x \end{array}\]
以上にて，ミッション完了～