2018/12/29 導関数の定義にしたがって微分する

本日の質問

関数 \(f(x) = \sin x^2\) を定義にしたがって微分したいのですが,どのようにしたら良いか分かりません。教えてください。

この問題は,授業の課題として与えられたものです。ある時期,複数の学生さんが質問にやって来ました。どの学生さんのノートにも悪戦苦闘の跡が見られました。力業で求めようとしていたので,合成関数として見るべきでは? とアドバイスをしました。

導関数の定義

\[\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

\[f'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x + h)^2 - \sin x^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x + h)^2 - \sin x^2}{(x + h)^2 - x^2} \cdot \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \end{array}\]

合成関数と考えれば,上のような変形が考えられます。

ここで,\((x + h)^2 - x^2 = H\) とすると \((x + h)^2 = x^2 + H\) となり,さらに \(h \to 0\) のとき \(H \to 0\) です。すると・・・

\[f'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x^2 + H) - \sin x^2}{H} \cdot \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2\cos\frac{(x^2 + H) + x^2}{2} \cdot \sin \frac{(x^2 + H) - x^2}{2}}{H} \cdot \frac{x^2 + 2hx + h^2 - x^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(x^2 + \frac{H}{2}\right) \cdot \sin\frac{H}{2}}{H} \cdot \frac{2hx + h^2}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \cos\left(x^2 + \frac{H}{2}\right) \cdot \frac{\sin \frac{H}{2}}{\frac{H}{2}} \cdot \frac{\cancel{h}(2x + h)}{\cancel{h}} \\ \displaystyle = \cos x^2 \cdot 2x \end{array}\]

以上にて,ミッション完了~

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:33 PM