2020/01/07 三角関数の積分

本日のお題

次の不定積分の求め方を教えてください。

\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx \qquad \int \frac{1}{1 + \cos x}\,dx\]

三角関数の積分には \(\displaystyle \tan \frac{x}{2} = t\) を使って置換積分するという万能選手がいます。ところが,私には,この置換積分が美しくなく見えてしまうのですね f^^; 。ということで,\(\displaystyle \tan\frac{x}{2} = t\) の置き換えを用いずに質問に答えます。

右側の積分は,学生さんの質問時 \(\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos x + 1}\,dx\) でしたが,このような分数式は\[\int \frac{\cos x}{\cos x + 1}\,dx = \int \left(1 - \frac{1}{\cos x + 1}\right)\,dx\]と考えるのが鉄則ですから,若干の変更をしてお題としました。

\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos x}\,dx\) の求め方

\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \,dx \\ \displaystyle = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \,dx \end{array}\]ここで,\(\sin x = u\) としすると,\(\cos x \, dx = du\) となるので\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx = \int \frac{1}{1 - u^2} \,du\]さらに部分分数分解する形が現れましたから\[\frac{1}{1 - u^2} = \frac{a}{1 + u} + \frac{b}{1 - u}\]とおいて,この式の分母を払うと\[1 = a(1 - u) + b(1 + u)\] \(u = -1\) を代入すると \(1 = 2a\) ∴ \(\displaystyle a = \frac{1}{2}\)
\(u = 1\) を代入すると \(1 = 2b\) ∴ \(\displaystyle b = \frac{1}{2}\)

これより,\(\displaystyle \frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}\right)\) となって\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}\right)\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\left(-\log\,\left|\,1 - u\,\right| + \log\,\left|\,1 + u\,\right|\right) + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \log\,\left|\,\frac{1 + u}{1 - u}\,\right| + C \\ \displaystyle = \log\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} + C \end{array}\]

初めは面倒な計算に見えるかもしれませんが,慣れてくるとそれほど時間の掛かる計算ではありません。

\(\displaystyle \int \frac{1}{1 + \cos x}\,dx\) の求め方

\[\int \frac{1}{1 + \cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{\displaystyle 2\cos^2\frac{x}{2}}\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \tan\frac{x}{2} \cdot 2 + C \\ \displaystyle = \tan\frac{x}{2} + C \end{array}\]こちらは,半角の公式を使ってあっと言う間にできてしまいました。

同様にして\[\int \frac{1}{1 - \cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{\displaystyle 2\sin^2 \frac{x}{2}}\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \left(-\cot\frac{x}{2}\right) \cdot 2 + C \\ \displaystyle = -\cot\frac{x}{2} + C \end{array}\]それでは,\(\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin x}\,dx\) はどうするの? って考えるのが人情です。これでどうでしょう?\[\int \frac{1}{1 + \sin x}\,dx = \int \frac{1}{\displaystyle 1 - \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}\,dx\]実用的か否かはともかく,こういうことに頭を働かせることはちょっと楽しいですね・・・私には ^^。

\(\displaystyle \tan\frac{x}{2} = t\) とおいた置換積分については こちら で解説しています。

・・・と,このようなことを一年前に書いているのですが,読み返してみると・・・これだけでは,どうもシックリきません。変形をもう一つ紹介しておくべきでしょう,どちらが好ましいということはなく。
と言うことで, 以下を追記いたしました

\[\begin{eqnarray} \int\frac{1}{1 + \cos x}\,dx &=& \int\frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x}\,dx \\[4px] &=& \int\left(\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x}\right)dx \\[4px] &=& -\cot x - \int\frac{(\sin x)'}{\sin^2 x}\,dx \\[4px] &=& -\cot x + \frac{1}{\sin x} + C \end{eqnarray}\]
え~!これって,\(\displaystyle \tan\frac{x}{2}\) に等しいのぉ? という向きもいらっしゃると思いますので,念のために・・・ \[\begin{eqnarray} -\cot x + \frac{1}{\sin x} &=& \frac{-\cos x + 1}{\sin x} \\[4px] &=& \frac{\cancel{2}\sin^\bcancel{2}\displaystyle\frac{x}{2}}{\cancel{2}\bcancel{\sin\displaystyle\frac{x}{2}}\cos\displaystyle\frac{x}{2}} \\[4px] &=& \tan\frac{x}{2} \end{eqnarray}\] この変形は,むしろ \(\sin\) の方で役立ちそうです。 \[\begin{eqnarray} \int\frac{1}{1 + \sin x}\,dx &=& \int\frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x}\,dx \\[4px] &=& \int\left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x}\right)dx \\[4px] &=& \tan x + \int\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x}\,dx \\[4px] &=& \tan x - \frac{1}{\cos x} + C \end{eqnarray}\] \(\cos\) の場合と同様に求めることができます。多分に 式遊び の要素が含まれていますが,それはそれで計算力アップのためのトレーニングになると思います。

以上にて,ミッション完了~

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:31 PM