2020/01/07 三角関数の積分
本日のお題
次の不定積分の求め方を教えてください。
\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx \qquad \int \frac{1}{1 + \cos x}\,dx\]
三角関数の積分には \(\displaystyle \tan \frac{x}{2} = t\) を使って置換積分するという万能選手がいます。ところが，私には，この置換積分が美しくなく見えてしまうのですね
右側の積分は，学生さんの質問時 \(\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos x + 1}\,dx\) でしたが，このような分数式は\[\int \frac{\cos x}{\cos x + 1}\,dx = \int \left(1 - \frac{1}{\cos x + 1}\right)\,dx\]と考えるのが鉄則ですから，若干の変更をしてお題としました。
\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos x}\,dx\) の求め方
\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} \,dx \\ \displaystyle = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \,dx \end{array}\]ここで，\(\sin x = u\) としすると，\(\cos x \, dx = du\) となるので\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx
= \int \frac{1}{1 - u^2} \,du\]さらに部分分数分解する形が現れましたから\[\frac{1}{1 - u^2} = \frac{a}{1 + u} + \frac{b}{1 - u}\]とおいて，この式の分母を払うと\[1 = a(1 - u) + b(1 + u)\]
\(u = 1\) を代入すると \(1 = 2b\) ∴ \(\displaystyle b = \frac{1}{2}\)
これより，\(\displaystyle \frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}\right)\) となって\[\int \frac{1}{\cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}\right)\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\left(-\log\,\left|\,1 - u\,\right| + \log\,\left|\,1 + u\,\right|\right) + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \log\,\left|\,\frac{1 + u}{1 - u}\,\right| + C \\ \displaystyle = \log\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} + C \end{array}\]
初めは面倒な計算に見えるかもしれませんが，慣れてくるとそれほど時間の掛かる計算ではありません。
\(\displaystyle \int \frac{1}{1 + \cos x}\,dx\) の求め方
\[\int \frac{1}{1 + \cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{\displaystyle 2\cos^2\frac{x}{2}}\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \tan\frac{x}{2} \cdot 2 + C \\ \displaystyle = \tan\frac{x}{2} + C \end{array}\]こちらは，半角の公式を使ってあっと言う間にできてしまいました。
同様にして\[\int \frac{1}{1 - \cos x}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{\displaystyle 2\sin^2 \frac{x}{2}}\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \left(-\cot\frac{x}{2}\right) \cdot 2 + C \\ \displaystyle = -\cot\frac{x}{2} + C \end{array}\]それでは，\(\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin x}\,dx\) はどうするの？ って考えるのが人情です。これでどうでしょう？\[\int \frac{1}{1 + \sin x}\,dx = \int \frac{1}{\displaystyle 1 - \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}\,dx\]実用的か否かはともかく，こういうことに頭を働かせることはちょっと楽しいですね・・・私には ^^。
\(\displaystyle \tan\frac{x}{2} = t\) とおいた置換積分については こちら で解説しています。
・・・と，このようなことを一年前に書いているのですが，読み返してみると・・・これだけでは，どうもシックリきません。変形をもう一つ紹介しておくべきでしょう，どちらが好ましいということはなく。
と言うことで，
以下を追記いたしました。
\[\begin{eqnarray} \int\frac{1}{1 + \cos x}\,dx &=& \int\frac{1 - \cos x}{1 - \cos^2 x}\,dx \\[4px] &=& \int\left(\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x}\right)dx \\[4px] &=& -\cot x - \int\frac{(\sin x)'}{\sin^2 x}\,dx
\\[4px] &=& -\cot x + \frac{1}{\sin x} + C \end{eqnarray}\]
え～！これって，\(\displaystyle \tan\frac{x}{2}\) に等しいのぉ？ という向きもいらっしゃると思いますので，念のために・・・ \[\begin{eqnarray} -\cot x + \frac{1}{\sin x} &=& \frac{-\cos x + 1}{\sin x} \\[4px] &=& \frac{\cancel{2}\sin^\bcancel{2}\displaystyle\frac{x}{2}}{\cancel{2}\bcancel{\sin\displaystyle\frac{x}{2}}\cos\displaystyle\frac{x}{2}}
\\[4px] &=& \tan\frac{x}{2} \end{eqnarray}\] この変形は，むしろ \(\sin\) の方で役立ちそうです。 \[\begin{eqnarray} \int\frac{1}{1 + \sin x}\,dx &=& \int\frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x}\,dx \\[4px] &=& \int\left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin
x}{\cos^2 x}\right)dx \\[4px] &=& \tan x + \int\frac{(\cos x)'}{\cos^2 x}\,dx \\[4px] &=& \tan x - \frac{1}{\cos x} + C \end{eqnarray}\] \(\cos\) の場合と同様に求めることができます。多分に 式遊び の要素が含まれていますが，それはそれで計算力アップのためのトレーニングになると思います。
以上にて，ミッション完了～