質問者さん，こんにちは ＾＾

オンラインで授業をできることをイイことに，木曜日と金曜日に学校をズル休みしていました

オンライン授業と今年の１年生は色々質問してくださるので，やるべきことが昨年の２倍くらいになってしまい，老人としては疲労困憊してストライキを起こしてしまった・・・という笑い話です
ということで，メールを拝見しておらず，返信の遅れてしまったことをお詫びいたします

本日のお題

さて，ご質問は　\(y'' + y' - 6y = e^{-3x}\,\sin 2x\)　の特殊解を微分演算子を用いて求めましょう・・・というものですね

承知いたしました!!
ところで，新しい先生って，関山先生と比べるとなかなかエグい問題が好きですよね（笑）
って私が言っていたなんて言わないで下さいよ（爆笑）

まず，３つのことを確認しておきましょうね!!（これが重要です）

１つ目は　\(\displaystyle \frac{1}{D - \alpha}\big[\,e^{\beta x}\,\big] = \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1}{\beta - \alpha} \,e^{\beta x}& (\alpha \ne \beta) \\ x\,e^{\alpha x} & (\alpha = \beta)\,  \end{array}\right.\)　が成り立ちます

２つ目は　\(\displaystyle \frac{1}{D^2 + aD + b}[e^{\alpha x}u(x)] = e^{\alpha x}\cdot\frac{1}{(D + \alpha)^2 + a(D + \alpha) + b}[u(x)]\)　が成り立ちます

３つ目は　微分演算子による解法では，\(\sin x \) と \(\cos x\) について，オイラーの公式　\(e^{ix} = \cos x + i\,\sin x\)　を用いるということです

この問いでは \(\sin 2x\) が現れますから，これを \(e^{i2x}\) の虚部と考えて計算をします
以下の解答では　\(\sin 2x = Im(e^{i2x})\)　と表しています

また，１つ目の確認事項は，微分演算子の最初に学ぶものですから質問者さんならば問題ないと思いますが，こちら で説明をしていますから参考にしてください
今，手元に教科書がないのでページ数が分かりませんが，教科書でも最初の方に出てくる公式です

２つ目の確認事項は，教科書では少々分かりにくいかもしれません
この公式についても，こちら に説明がありますので参考にしてくださいね
質問者さんの解答を見ると，この公式の使い方を勘違いしているかも知れません

それでは解いていきましょう

\(\hspace{3em} \displaystyle v(x) = \frac{1}{(D + 3)(D - 2)}\big[\,e^{-3x}\,\sin 2x\,\big]\)

まず，２つ目の確認事項を用いると，右辺の \(e^{-3x}\) を取ってしまうことができます
邪魔なものは，できるだけ少ない方がイイですよね

\(\hspace{3em} \displaystyle v(x) = e^{-3x} \cdot \frac{1}{(D + 3 - 3)(D - 2 - 3)}\big[\,e^{3x} \cdot e^{-3x} \sin 2x\,\big]\)

\(\hspace{3em} \displaystyle v(x) = e^{-3x} \cdot \frac{1}{D(D - 5)}\big[\,\sin 2x\,\big]\)

ここで，\(\sin 2x = Im(e^{i2x})\) とします

\(\hspace{3em} \displaystyle v(x) = Im\left(e^{-3x} \cdot \frac{1}{D(D - 5)}\big[\,e^{i2x}\,\big]\right)\)

そして，１つ目の確認事項を使います（ここの計算は簡単なので，敢えて部分分数展開の必要はないでしょう）
実は，この公式を用いたいがために，\(\sin x\) と \(\cos x \) については オイラーの公式 により変形をするのです

\(\hspace{3em} v(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = e^{-3x} \cdot Im\left(\frac{1}{2i \cdot (2i - 5)} \cdot e^{i2x}\right) \\ \displaystyle = e^{-3x} \cdot Im\left(\frac{-i\,(-2i - 5)}{2 \cdot (4 + 25)} \cdot e^{i2x} \right) \\ \displaystyle = e^{-3x} \cdot Im\left(\frac{-2 + 5i}{58}\left(\cos 2x + i \sin 2x\right)\right) \\ \displaystyle = -\frac{e^{-3x}}{29} \sin 2x + \frac{5e^{-3x}}{58} \cos 2x \\ \end{array}\)

【別解】

\(\displaystyle \hspace{3em} v(x) = \frac{1}{(D + 3)(D -2)}\big[\,e^{-3x}\,\sin 2x\,\big]\)

\(\displaystyle \hspace{5em} = Im\left(\frac{1}{(D+3)(D - 2)}\big[\,e^{(-3 + 2i)x}\,\big]\right)\)

\(\displaystyle \hspace{5em} = Im\left(\frac{1}{(2i - 3 + 3)(2i - 3 -2)}\cdot e^{(-3 + 2i)x}\right)\)

\(\displaystyle \hspace{5em} = e^{-3x} \cdot Im \left(\frac{1}{2i \cdot (2i - 5)}\cdot e^{i2x}\right)\)

以下は，上の解答と同様の複素数計算ですから，省略します

オイラーの公式と確認事項１だけですみ，こちらの方がずって簡単ですね
でも，この解答を書いてしまうと，出題者がガッカリするかも（笑）


※　微分演算子を用いると，計算の手間を省くことができます
　　その代わりに，公式が多くあります
　　頻繁に微分方程式を解く方には優れた解法ですが
　　そうでない方には，定数変化法が一番無難かな？ と思います
　　私自身，微分演算子を使うことは好きなのですが，質問をいただくのが1年で
　　この時期だけなので，自分のノートを見ながら解いています f＾＾;