2019/04/25 ベクトルの外積って何ですか?

本日のお題

空間の2つのベクトル \[\boldsymbol{a} = \left[\,a_1,\ a_2,\ a_3\,\right]\ ,\ \boldsymbol{b} = \left[\,b_1,\ b_2,\ b_3\,\right]\] について,\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) を求めよ。

2つの演算の違いが分かりません。計算の仕方と併せて教えてください。

はい!! 承知しました。\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\)内積\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)外積 と呼ばれる積です。

内積は スカラー積 とも呼ばれ,演算の結果は スカラー になります。高等学校の 数学B にも現れるので,大学1年生には馴染みがあるものと思います。

それに対して,外積は ベクトル積 とも呼ばれ,演算の結果は ベクトル になります。高等学校の数学では扱わないことになっていますから,大学1年生の多くは初めて目にするものでしょう。ただし,

2つのベクトル \(\overrightarrow{\mbox{OA}}\)\(\overrightarrow{\mbox{OB}}\) とが作る \(\triangle\mbox{OAB}\) の面積 \(S\) は, \[S = \frac{1}{2}\sqrt{\Big|\,\overrightarrow{\mbox{OA}}\,\Big|^2 \Big|\,\overrightarrow{\mbox{OB}}\,\Big|^2 - \Big(\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}\Big)^2} \tag{1}\]

というような公式は,外積と大いに関係があります。(高校生のとき,知らない間に 外積 とすれ違っていた \(\cdots\) ということですネ。)

\(x\)

\(y\)

\(\mbox{A}\)

\(\mbox{B}\)

\(\displaystyle S = \frac{1}{2}\sqrt{\Big|\,\overrightarrow{\mbox{OA}}\,\Big|^2 \Big|\,\overrightarrow{\mbox{OB}}\,\Big|^2 - \Big(\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}\Big)^2}\)

この式は,平面で \(\mbox{A}(a_1,\ a_2)\)\(\mbox{B}(b_1,\ b_2)\) と座標が与えられれば \[S = \frac{1}{2}\left|\,a_1 b_2 - a_2 b_1\,\right| \tag{2}\] となり,空間で \(\mbox{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)\)\(\mbox{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)\) と座標が与えられれば \[S = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2} \tag{3}\] となりました。後ほど,外積の成分と比較します。

外積とは?

初めに書いたように内積は演算結果がスカラーです。 \[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \left[\,a_1,\ a_2,\ a_3\,\right]\cdot\left[\,b_1,\ b_2,\ b_3\,\right] = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\] それに対して,外積 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は,空間のベクトル(3次元のベクトル)についてのみ定義されていて,演算の結果がベクトルになります。ベクトルは向きと大きさをもつ量ですから,向きと大きさに分けて外積の定義を説明します。

まず向きです。外積 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は2つのベクトル \(\boldsymbol{a}\)\(\boldsymbol{b}\) に垂直です。

\(\boldsymbol{a}\)

\(\boldsymbol{b}\)

\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)

2つのベクトル \(\boldsymbol{a}\)\(\boldsymbol{b}\) に垂直といっても,上の図とは逆向きの方向もあります。外積 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)\(\boldsymbol{a}\) から \(\boldsymbol{b}\) の方向に回転したときネジが進む方向を向いています。これを 右手系 といいます。

次に,外積 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の大きさです。2つのベクトル \(\boldsymbol{a}\)\(\boldsymbol{b}\) が張る(作る)平行四辺形の面積が \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) の大きさになります。

\(\boldsymbol{a}\)

\(\boldsymbol{b}\)

\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)

\(\|\,\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\,\|\)

成分による外積の計算

ベクトルの外積がどのようなものであるかが分かったので,次に,成分を用いるとどのような計算になるかを見ていきましょう。最初に結論を示します。

ベクトルの外積の計算

\(\boldsymbol{a} = \left[\,a_1,\ a_2,\ a_3\,\right]\ ,\ \boldsymbol{b} = \left[\,b_1,\ b_2,\ b_3\,\right]\) であるとき \[\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \left[\,a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1\,\right]\] となります。

高等学校ですでに,面積の公式 \((3)\) は学んでいることを前提にします。すると,\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = [\,x,\ y,\ z\,]\) として \[x^2 + y^2 + z^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 \tag{4}\] が成り立ちます。

次に,\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = [\,x,\ y,\ z\,]\) は,\(\boldsymbol{a} = \left[\,a_1,\ a_2,\ a_3\,\right]\ ,\ \boldsymbol{b} = \left[\,b_1,\ b_2,\ b_3\,\right]\) のいずれにも垂直なので\[\begin{eqnarray} && \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) = a_1\,x + a_2\,y + a_3\,z = 0 \tag{5} \\[2px] && \boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) = b_1\,x + b_2\,y + b_3\,z = 0 \tag{6} \end{eqnarray}\]が成り立ちます。これを \(x\)\(y\) について解きます。

\((5)\times b_2 - (6)\times a_2\) より \((a_1 b_2 - a_2 b_1)x = (a_2 b_3 - a_3 b_2)z\)
\((5)\times b_1 - (6)\times a_1\) より \((a_1 b_2 - a_2 b_1)y = (a_3 b_1 - a_1 b_3)z\)

したがって \(a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0\) ならば \[x = \frac{a_2 b_3 - a_3 b_2}{a_1 b_2 - a_2 b_1}z\quad ,\quad y = \frac{a_3 b_1 - a_1 b_3}{a_1 b_2 - a_2 b_1}z \tag{7}\] となるので \[x^2 + y^2 + z^2 = \left\{\left(\frac{a_2 b_3 - a_3 b_2}{a_1 b_2 - a_2 b_1}\right)^2 + \left(\frac{a_3 b_1 - a_1 b_3}{a_1 b_2 - a_2 b_1}\right)^2 + 1\right\}\,z^2\] \((4)\) より \(z^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2\) で \(z = \pm(a_1 b_2 - a_2 b_1)\) となります。 \[∴\quad\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \pm\left[\,a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1\,\right] \tag{8}\]

\(a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\) のときは,\((5)\)\((6)\)\(y\)\(z\) について解きます。

\((5)\times b_3 - (6)\times a_3\) より \((a_2 b_3 - a_3 b_2)y = (a_3 b_1 - a_1 b_3)x\)
\((5)\times b_2 - (6)\times a_2\) より \((a_2 b_3 - a_3 b_2)z = (a_1 b_2 - a_2 b_1)x = 0\)

したがって \(a_2 b_3 - a_3 b_2 \ne 0\) ならば \[y = \frac{a_3 b_1 - a_1 b_3}{a_2 b_3 - a_3 b_2}\quad,\quad z = 0\] となるので \[x^2 + y^2 + z^2 = \left\{1 + \left(\frac{a_3 b_1 - a_1 b_3}{a_2 b_3 - a_3 b_2}\right)^2 + 0\right\}\,x^2\] \((4)\) より \(x^2 = (a_2 b_3 - a_3 b_2)^2\) で \(x = \pm(a_2 b_3 - a_3 b_2)\) となり,これより求められる \(x\)\(y\)\(z\)\((8)\) に含まれます。

さらに \(a_1 b_2 - a_2 b_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2 = 0\) のときは \[a_1:a_2:a_3 = b_1:b_2:b_3\] となるので,\(a_3 b_1 - a_1 b_3 = 0\) であると同時に,2つのベクトル \(\boldsymbol{a}\)\(\boldsymbol{b}\) は平行になるので平行四辺形を作ることができず,\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \boldsymbol{o}\) となります。これまた,\((8)\) に含まれています。

以上から,外積 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)\((8)\) であることが示されました。最後にすべきことは,\((8)\) 式の \(\pm\) のどちらが外積であるかの判断です。

下の図で,ベクトル \(\textcolor{blue}{\boldsymbol{a}}\)\(\textcolor{green}{\boldsymbol{b}}\)\(\textcolor{aqua}{\boldsymbol{i}}\)\(\textcolor{lime}{\boldsymbol{j}}\)\(\textcolor{pink}{\boldsymbol{k}}\) の成分は次のとおりです。 \[\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\boldsymbol{a} = [\,a_1,\ a_2,\ a_3\,]}\ ,\quad \textcolor{green}{\boldsymbol{b} = [\,b_1,\ b_2,\ b_3\,]} \\ \textcolor{aqua}{\boldsymbol{i} = [\,1,\ 0,\ 0\,]}\ ,\quad \textcolor{lime}{\boldsymbol{j} = [\,0,\ 1,\ 0\,]}\ ,\quad \textcolor{pink}{\boldsymbol{k} = [\,0,\ 0,\ 1\,]} \end{array}\]

\(\boldsymbol{i}\)

\(\boldsymbol{j}\)

\(\boldsymbol{k}\)

\(\boldsymbol{a}\)

\(\boldsymbol{b}\)

\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)

ベクトル \(\boldsymbol{a}\)\(\boldsymbol{b}\) のなす角を \(\theta\) として,\(0 < \theta < \pi\) を保ちながら,ベクトル \(\boldsymbol{a}\) をベクトル \(\boldsymbol{i}\) に,ベクトル \(\boldsymbol{b}\) をベクトル \(\boldsymbol{j}\) に近づけ一致させます。 \[\textcolor{aqua}{\boldsymbol{i} = [\,1,\ 0,\ 0\,]}\ ,\quad \textcolor{lime}{\boldsymbol{j} = [\,0,\ 1,\ 0\,]}\ ,\quad \textcolor{pink}{\boldsymbol{k} = [\,0,\ 0,\ 1\,]}\] ですから,\(\textcolor{aqua}{\boldsymbol{i}}\times\textcolor{lime}{\boldsymbol{j}} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{k}}\) が成り立ちます。\(0 < \theta < \pi\) ですから,\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は零ベクトルになることなく連続的に変化しながら \(\boldsymbol{k}\) に重なります。したがって,\((8)\) 式で \[[\,1,\ 0,\ 0\,]\times[\,0,\ 1,\ 0\,] = [\,0,\ 0,\ 1\,]\] を満たす方の符号をとれば良いことになります。そうしますと \[\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \left[\,a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1\,\right]\] であることが分かります。これで,高等学校で習った三角形の面積の公式 \((3)\) が外積と関係あることも分かりますね。

ところで,どうしてこのような質問が出るのか?というと \(\cdots\) ,大学入学直後,線形代数でベクトルの外積を扱う前に,力学などでモーメントを扱うケースがあります。そのようなとき,教科書でモーメントが「力の作用点の位置ベクトルと力の外積」として定義されていると,新入生の皆さんは???となってしまう \(\cdots\) ということです。

という状況では,当然のこととして \[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left|\,\begin{matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\,\right|\] という便利な式も使えませんね。

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:35 PM