2019/11/01 極座標で表わされた運動の速度・加速度

本日のお題

平面で位置が \(x = r\cos\theta\)\(y = r\sin\theta\) で与えられ,\(x\)\(y\)\(r\)\(\theta\) が時間の関数のとき,速度の \(x\)\(y\)\(r\)\(\theta\) 成分 \(v_x\)\(v_y\)\(v_r\)\(v_{\theta}\) と,加速度の \(x\)\(y\)\(r\)\(\theta\) 成分 \(a_x\)\(a_y\)\(a_r\)\(a_{\theta}\) をすべて導け。

この質問は,今年の1月に頂戴したものです
ここに掲載することはしなかったのですが,一昨日,空間の運動の極座標表示について書いたので,改めて,ご紹介したいと思います

まず,\(xy\) 座標系での速度と加速度を考えましょう
\(x\) 成分と \(y\) 成分に分けて,時刻 \(t\) で微分します \[\begin{eqnarray} x &=& r\cos\theta \\ \dot{x\mathstrut} &=& \dot{r\mathstrut}\cos\theta - r\dot{\theta\mathstrut}\sin\theta \\ \ddot{x\mathstrut} &=& \ddot{r\mathstrut}\cos\theta - \dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut}\sin\theta - \dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut}\sin\theta - \dot{r\mathstrut}\ddot{\theta\mathstrut}\sin\theta - r\dot{\theta\mathstrut}\,^2\cos\theta \\ &=& \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}\,^2\right)\cos\theta - \left(2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut} + r\ddot{\theta}\right)\sin\theta \\[4px] y &=& r\sin\theta \\ \dot{y\mathstrut} &=& \dot{r\mathstrut}\sin\theta + r\dot{\theta\mathstrut}\cos\theta \\ \ddot{y\mathstrut} &=& \ddot{r\mathstrut}\sin\theta + \dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut}\cos\theta + \dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut}\cos\theta + \dot{r\mathstrut}\ddot{\theta\mathstrut}\cos\theta - r\dot{\theta\mathstrut}\,^2\sin\theta \\ &=& \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}\,^2\right)\sin\theta + \left(2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut} + r\ddot{\theta}\right)\cos\theta \\[8px] ∴\quad v_x &=& \dot{r\mathstrut}\cos\theta - r\dot{\theta\mathstrut}\sin\theta \\ v_y &=& \dot{r\mathstrut}\sin\theta + r\dot{\theta\mathstrut}\cos\theta \\[4px] a_x &=& \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}\,^2\right)\cos\theta - \left(2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut} + r\ddot{\theta}\right)\sin\theta \\ a_y &=& \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}\,^2\right)\sin\theta + \left(2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut} + r\ddot{\theta}\right)\cos\theta \end{eqnarray}\]

次に,極座標系で考えます
動点を \(\mbox{P}\) とし,\(\boldsymbol{e}_r = (\cos\theta,\ \sin\theta)\)\(\boldsymbol{e}_{\theta} = (-\sin\theta,\ \cos\theta)\) とすると,\(\boldsymbol{e}_r\)\(\overrightarrow{\mbox{OP}}\) と同じ向きの単位ベクトルであり,\(\boldsymbol{e}_{\theta}\)\(\overrightarrow{\mbox{OP}}\) と垂直な向きの単位ベクトルです
あるベクトル \(\boldsymbol{V}\)\(\boldsymbol{e}_r\)\(\boldsymbol{e}_{\theta}\) を用いて \(\boldsymbol{V} = k_r\,\boldsymbol{e}_r + k_{\theta}\,\boldsymbol{e}_{\theta}\) と表されるとき,\(k_r\)\(k_{\theta}\) をそれぞれ \(\boldsymbol{V}\)\(r\) 成分と \(\theta\) 成分といいます

>続いて,\(\dot{\boldsymbol{e}_r\mathstrut}\)\(\dot{\boldsymbol{e}_{\theta}\mathstrut}\) を計算します \[\begin{eqnarray} \dot{\boldsymbol{e}_r\mathstrut} &=& \left(-\sin\theta\cdot\dot{\theta\mathstrut},\ \cos\theta\cdot\dot{\theta\mathstrut}\right) \\ &=& \dot{\theta\mathstrut}\left(-\sin\theta,\ \cos\theta\right) \\ &=& \dot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_{\theta} \\[4px] \dot{\boldsymbol{e}_{\theta}\mathstrut} &=& \left(-\cos\theta\cdot\dot{\theta\mathstrut},-\sin\theta\cdot\dot{\theta\mathstrut}\right) \\ &=& -\dot{\theta\mathstrut}\left(-\cos\theta,-\sin\theta\right) \\ &=& -\dot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_r \\[4px] \end{eqnarray}\] \(\overrightarrow{\mbox{OP}} = \left(r\cos\theta,\ r\sin\theta\right) = r\boldsymbol{e}_r\) だから,点 \(\mbox{P}\) の速度ベクトル \(\boldsymbol{v}\) と加速度ベクトル \(\boldsymbol{a}\) は,次のようになります \[\begin{eqnarray} \boldsymbol{v} &=& \frac{d}{dt}\overrightarrow{\mbox{OP}} \\ &=& \dot{r\mathstrut}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\boldsymbol{e}_r\mathstrut} \\ &=& \dot{r\mathstrut}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_{\theta} \\[4px] \boldsymbol{a} &=& \dot{\boldsymbol{v}\mathstrut} \\ &=& \ddot{r\mathstrut}\boldsymbol{e}_r + \dot{r\mathstrut}\dot{\boldsymbol{e}_r\mathstrut} + \dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_{\theta} + r\ddot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_{\theta} + r\dot{\theta}\dot{\boldsymbol{e}_{\theta}\mathstrut} \\ &=& \ddot{r\mathstrut}\boldsymbol{e}_r + 2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_{\theta} + r\left(\ddot{\theta\mathstrut}\boldsymbol{e}_{\theta} -\dot{\theta\mathstrut}\,^2\boldsymbol{e}_r\right) \\ &=& \left(\ddot{r\mathstrut} - r\dot{\theta\mathstrut}\,^2\right)\boldsymbol{e}_r + \left(2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut} + r\ddot{\theta\mathstrut}\right)\boldsymbol{e}_{\theta} \\[8px] ∴\quad v_r &=& \dot{r\mathstrut} \\ v_{\theta} &=& r\dot{\theta\mathstrut} \\[4px] a_r &=& \ddot{r\mathstrut} - r\dot{\theta\mathstrut}\,^2 \\ a_{\theta} &=& 2\dot{r\mathstrut}\dot{\theta\mathstrut} + r\ddot{\theta\mathstrut} \end{eqnarray}\]

平面の場合は,これで分かりました
そうなると,次は,空間の場合の極座標系ではどうなるのだろう,と気になるのが人情です … それでは,明日,空間の場合をやってみましょう

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:26 PM