07 対数微分法

本時の目標

  1. 対数微分法について理解し,対数微分法を用いて複雑な式の関数を微分することができる。

次の関数を微分しましょう。

\[\displaystyle f(x) = \log\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\]

合成関数の微分を使うと次のような計算になります。

\[f'(x)\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{x - 1}{x + 1}}} \cdot \left(\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}\right)' \\ \displaystyle = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}} \cdot \frac{1}{\displaystyle 2\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}} \cdot \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)' \\ \displaystyle = \frac{x + 1}{2(x - 1)} \cdot \frac{1 \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} \\ \displaystyle = \frac{\cancel{x + 1}}{\bcancel{2}(x - 1)} \cdot \frac{\bcancel{2}}{(x + 1)^{\cancel{2}}} \\ \displaystyle = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} \end{array}\]

ん~ん,結構面倒な計算ですね。ところが,先に対数の計算法則を用いて対数の差にしておくと・・・

\[f'(x)\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left\{\frac{1}{2}\Big(\log |\,x - 1\,| - \log |\,x + 1\,|\Big)\right\}' \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) \\ \displaystyle = \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{(x - 1)(x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} \end{array}\]

かなり簡単になりました。対数は乗除の計算を加減に変えることができるものです。掛け算や割り算を含む微分の計算を,対数を使って簡単にすることができないでしょうか?

というところが,本日のテーマ 対数微分法 です。

対数微分法

例題1

\[y = \sqrt{(x - 1)(x - 2)}\tag{♪}\]

(♪) の関数を例に対数微分法を説明していきます。(♪) は直接微分してもそれほど難しい計算になりませんが,まずは扱いやすい関数を例に対数微分法を理解しましょう。

最初に,両辺の絶対値の対数をとり,次に右辺を対数の足し算・引き算に変形します。

\[\log|\,y\,| \begin{array}[t]{l} = \log \sqrt{(x - 1)(x - 2)} \\ \displaystyle = \log \left\{(x - 1)(x - 2)\right\}^{\frac{1}{2}} \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\log (x - 1)(x - 2) \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \Big(\log|\,x - 1\,| +\log|\,x - 2\,|\Big) \end{array}\]

ここで,両辺を \(x\) で微分します。左辺 \(\log|\,y\,|\) の微分は,合成関数の微分 \(\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}\) を用いて次のようになります。

\[\displaystyle (\log|y|)' = \frac{1}{y} \cdot y' = \frac{y'}{y} \\ (ここでは\ f = \log|\,y\,|\mbox{,}u = y)\]

したがって \(\displaystyle \log|\,y\,| = \frac{1}{2}\Big(\log|\,x - 1\,| + \log|\,x + 1\,|\Big)\) の両辺を微分すると

\[\displaystyle \frac{y'}{y} \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x - 2) + (x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x - 3}{(x - 1)(x - 2)} \end{array}\]

\[∴ \quad y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = y \cdot\frac{2x - 3}{2(x - 1)(x - 2)} \\ \displaystyle = \sqrt{(x - 1)(x - 2)} \cdot \frac{2x - 3}{2(x - 1)(x - 2)} \\ \displaystyle = \frac{2x - 3}{2\sqrt{(x - 1)(x - 2)}} \end{array}\]

もう少し複雑な関数にも挑戦!!

例題2

\[\begin{array}{l} \displaystyle y = \frac{(x + 3)^5}{(3x + 8)^6} \\[12px] {\small 両辺の絶対値の対数をとって} \\ \displaystyle \log|\,y\,| = \log \frac{|\,x + 3\,|^5}{|\,3x + 8\,|^6} \\ \displaystyle \hspace{3.15em} = 5\log|\,x + 3\,| - 6\log|\,3x + 8\,| \\[8px] {\small 両辺を}\,x\,{\small で微分します。} \\ \displaystyle \frac{y'}{y} = \frac{5}{x + 3} - \frac{6 \cdot 3}{3x + 8} \\ \displaystyle \hspace{1.5em} = \frac{5(3x + 8) - 18(x + 3)}{(x + 3)(3x + 8)} \\ \displaystyle \hspace{1.5em} = -\frac{3x + 14}{(x + 3)(3x + 8)} \\[8px] \displaystyle \mbox{∴}\quad y' = -y \cdot \frac{3x + 14}{(x + 3)(3x + 8)} \\ \displaystyle \hspace{2.7em} = -\frac{(x + 3)^5}{(3x + 8)^6} \cdot \frac{3x + 14}{(x + 3)(3x + 8)} \\ \displaystyle \hspace{2.7em} = -\frac{(x + 3)^4 (3x + 14)}{(3x + 8)^7} \end{array}\]

例題3

\[\begin{array}{l} y = x^x \quad (x > 0) \\[12px] x > 0 \ {より,両辺の対数をとって} \\ \displaystyle \log y = \log x^x \\ \hspace{2.2em} = x\log x \\[8px] {両辺を}\,x\,{で微分します。} \\ \displaystyle \frac{y'}{y} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} \\ \hspace{1.5em} = \log x + 1 \\[8px] \mbox{∴}\quad y' = y \left(\log x + 1\right) \\ \hspace{2.7em} = x^x \left(\log x + 1\right) \end{array}\]

問題演習

課題1

対数微分法を用いて,次の関数を微分しましょう。

  1. \(\displaystyle y = 2^x\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle y = \sqrt[4]{x^2 - 1}\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle y = \sqrt[3]{(x + 1)(x^2 + 2)}\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle y = \sqrt{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle y = \frac{(2x + 1)^4}{(x^2 - 1)^3}\) 解答 隠す
  6. \(\displaystyle y = \frac{x^5}{(x - 1)^3 (x + 2)}\) 解答 隠す
  7. \(\displaystyle y = \frac{(x + 3)^3}{(x + 1)(x^2 + 2)}\) 解答 隠す
  8. \(\displaystyle y = \frac{(x^2 +1)^2}{x^3 (2x^2 + 1)^4}\) 解答 隠す
  9. \(\displaystyle y = x^r \quad (x > 0\mbox{,}r\ {は任意の実数})\) 解答 隠す
  10. \(\displaystyle y = x^{\sin x}\quad(x > 0)\) 解答 隠す
  11. \(\displaystyle y = x^{\log x}\) 解答 隠す
  12. \(\displaystyle y = x^{\frac{1}{x}}\quad(x > 0)\) 解答 隠す
  13. \(\displaystyle y = (\sin x)^x \quad \left(0 < x < \pi \right)\) 解答 隠す
  14. \(\displaystyle y = (\cos x)^x \quad (-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})\) 解答 隠す
  15. \(\displaystyle y = (\log x)^x \quad (x > 1)\) 解答 隠す
Last modified: Thursday, 16 September 2021, 9:37 AM