高校数学: テキスト（式の計算）

本時の目標

分配法則について理解する。
乗法公式を用いて，式を展開する。
因数分解の公式（乗法公式の逆）を用いて，式を因数分解する。
タスキ掛けを用いて，式を因数分解する。

式の計算

数学を学ぶ上で，式を計算することはとても大切です。式の計算ができなければ，数学について何も学ぶことはできません。そして，その式の計算の，基本中の基本が展開と因数分解です。

そこで，基礎数学の学習を始めるに当たって，まず式の展開と因数分解を扱います。

式を展開したり因数分解したりするために抑えておかなければならない事柄が分配法則です。

分配法則

\[\begin{array}{l} a(b + c) = ab + ac \\ (a + b)c = ac + bc \end{array}\]

いずれの式も，左辺から右辺に変形すれば展開ですし，逆に右辺から左辺に変形すれば因数分解になります。

ところで，\(a(b + c + d)\) のように (　　) の中の項が３つになったらどうでしょう。当然，皆さんはこの式を展開することができますが，分配法則に則って計算をしてみましょう。

例えば，\(c + d = C\) などの置き換えをします。

\[\begin{array}{l} \quad a(b + c + d) \\ =a(b + C) \\ = ab + aC \\ = ab + a(c + d) \\ = ab + ac + ad \end{array}\]

このような計算ができます。一度確かめてしまえば，(　　) の中の項が幾つになっても，分解法則を使えることが分かりますね。

次に，\((a + b)(c + d)\) を展開しましょう。

ここでは，\(c + d = C\) とおきます。

\[\begin{array}{l} \quad (a + b)(c + d) \\ = (a + b)C \\ = aC + bC \\ = a(c + d) + b(c + d) \\ = ac + ad + bc + bd \\ \end{array}\]

この変形を見ると，\((a + b)(c + d)\) を展開する場合には，下図のように４つのかけ算をしてそれらを全て加えれば良いことが分かります。

続いて，\((a + b)^2\) と \((a - b)^2\) の展開です。

\[(a + b)^2 \begin{array}[t]{l} = (a + b)(a + b) \\ =a^2 + ab + ba + b^2 \\ = a^2 + ab + ab + b^2 \\ = a^2 + 2ab + b^2 \end{array}\]

ところが，この計算を毎回毎回行うのは面倒です。そこで・・・

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

この式を公式として，２乗の形の式を展開するときに利用しようと考えるわけです。例えば，次の例題のように・・・

例題１　次の式を展開しましょう。

(1)　\((2x + 3y)^2\)
(2)　\((a - b)^2\)

解　答

(1)　\(\begin{array}[t]{l} (2x + 3y)^2 \\ = (2x)^2 + 2\cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 \\ = 4x^2 + 12xy + 9y^2 \end{array}\)

(2)　\(\begin{array}[t]{l} (a - b)^2 \\ = \{a + (-b)\}^2 \\ = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 \\ = a^2 - 2ab + b^2 \end{array}\)

中学校・高等学校の数学の学習を通じて，幾つかの乗法公式が出てきました。次に，それらを確認しましょう。

乗法公式を用いた式の展開

乗法公式

\[\begin{array}{l} (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \\ (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \\ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd \\ (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \\ (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3 \end{array}\]

乗法公式といっていますが，勿論，右辺から左辺への変形は因数分解です。

それでは，乗法公式を用いて，式を展開してみましょう。

課題１　次の式を展開してください。

\((x - 3)(x + 3)\)
\((3a + b)(3a - b)\)
\((x + 2)(x + 3)\)
\((x + y - 2)(x + y - 3)\)
\((x - 2)(x + 5)\)
\((x - 2y)(x + 7y)\)
\((3x + 2)^2\)
\((5x - 4)^2\)
\((3x + 2)(2x + 5)\)
\((2x + 3)(4x - 1)\)
\((3x - 2)(5x + 3)\)
\((x + 2y)^3\)
\((x + 2)^3\)
\((4x + 3)^3\)
\((x - 3y)^3\)

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公式を用いた因数分解

前項に書いたように，乗法公式を右から左に使えば因数分解の公式になります。

因数分解公式

\[\begin{array}{l} a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \\ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \\ x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) \\ acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) \\ a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 = (a \pm b)^3 \\ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \end{array}\]

これらを公式として，因数分解をやってみましょう。

課題２　次の式を因数分解してください。

\(x^2 - 9\)
\(49x^2 - 4y^2\)
\(x^2 + 5x + 4\)
\(x^2 - 3x - 10\)
\(x^2 - 6x + 9\)
\(x^2 + 4x + 4\)
\(x^3 - 1\)
\(x^3 + 8y^3\)
\(27a^3 - 8b^3\)
\(x^4 - y^4\)

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たすき掛けによる因数分解

\[acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)\]

次は，上の公式を用いた因数分解です。複雑な式なので，公式を思い浮かべながら・・・では難しいですね。タスキ掛けという方法を用います。

例えば，\(2x^2 + 5x + 3\) を因数分解しましょう。

公式に当てはめるために，\(x^2\) の項の係数と定数項に着目すれば

\[ac = 2,\quad bd = 3\]

ですね。ところが，この組み合わせはたくさんあります。その中から \(x\) の項の係数に着目すると

\[ad + bc = 5\]

となる \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) の組み合わせを見つければ良いことが分かります。

そのために，下の図のような計算を行います。これをタスキ掛けといいます。

まず，\(a\) と \(c\)，\(b\) と \(d\) の組み合わせを適当に作って，\(a\) と \(c\)，\(b\) と \(d\) が縦に並ぶように書きます。

次に，\(a\) と \(d\)，\(c\) と \(b\) を掛け算して，その結果を右側に書きます。このとき，２つずつの数字をタスキに掛け算しているので，タスキ掛けといいます。

さらに，２つの掛け算の掛け算の結果を加えます。

この結果が \(x\) の項の係数に一致すれば，求める組み合わせとなります。

\[2x^2 + 5x + 3\]

この式の場合，\(x^2\) の項の係数は \(2\) です。つまり \(ac = 2\) で，\(1 \times 2\) 以外にはありません。そこで

\[a = 1,\quad c = 2\]

と考えることにします。一方，定数項が \(3\) ですから \(b\) と \(d\) の組み合わせは，\((b,\ d)=\)\((1,\ 3),\ \)\((3,\ 1),\ \)\((-1,\ -3),\ \)\((-3,\ -1)\) の４つの組み合わせがあります。それぞれについてタスキ掛けをすると