10 高次導関数

本時の目標

  1. 高次(階)導関数の意味を理解し,有理関数・指数関数などについて \(n\) 次導関数を求めることができる。
  2. 三角関数について,\(n\) 次導関数を求めることができる。

2次導関数

関数 \(y = f(x)\) の導関数 \(f'(x)\) が再び微分可能であるとき,\(f'(x)\) の導関数を考えることができます。\(f'(x)\) の導関数を \(y''\)\(f''(x)\)\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\) 或いは \(\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x)\) などと書いて,関数 \(f(x)\)2次導関数(または 2階導関数) といいます。

2次導関数が微分可能な場合には,2次導関数を更に微分したものを 3次導関数(または 3階導関数)といい,この演算(操作)を \(n\) 回繰り返したものを 関数 \(f(x)\)\(n\) 次導関数 と言います。\(f(x)\)\(n\) 次導関数は \(y^{(n)}\)\(f^{(n)}\)\(\displaystyle \frac{d^n y}{dx^n}\) などの記号で表します。

例題1 \(y = x^3\)

\(\begin{array}{l} y' = 3x^2 \\ y'' = 6x \\ y''' = 6 \\ y^{(n)} = 0 \quad (n \geqq 4) \end{array}\)

例題2 \(y = x^r\)

\(\begin{array}{l} y' = rx^{r - 1} \\ y'' = r(r - 1)x^{r - 2} \\ y^{(3)} = r(r - 1)(r - 2)x^{r - 3} \\ \hspace{2em} \vdots \\ \displaystyle y^{(n)} = \frac{r!}{(r - n)!}x^{r - n} \quad (n \leqq r) \\ y^{(n)} = 0 \quad (n > r)\end{array}\)

例題3 \(y = e^x\)

\(y' = e^x\),つまり \(e^x\) の導関数は自分自身になるので,\(y^{(n)} = e^x\)
何階微分しても \(e^x\) のままです。

課題1

次の関数の \(n\) 次導関数 \(y^{(n)}\) を求めましょう。

  1. \(y = e^{-x}\) 解答 隠す
  2. \(y = e^{3x}\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle y = \frac{1}{x}\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle y = \frac{x + 3}{x + 2}\) 解答 隠す
  5. \(y = 2^x\) 解答 隠す
  6. \(y = \log x\) 解答 隠す

三角関数の高次導関数

関数 \(y = \sin x\) について,高次導関数を求めます。

\(\begin{array}{l} y^{(1)} = \cos x \\ y^{(2)} = (\cos x)' = -\sin x \\ y^{(3)} = (-\sin x)' = -\cos x \\ y^{(4)} = (-\cos x)' = \sin x = y \end{array}\)

\(y = \sin x\) は4階微分すると \(y\) に戻ってしまいます。したがって

\(y^{(n)} = \left\{\begin{array}{rl} \cos x & (n = 1,5,\cdots\ ) \\ -\sin x & (n = 2,6,\cdots\ ) \\ -\cos x & (n = 3,7,\cdots\ ) \\ \sin x & (n = 4,8,\cdots\ ) \end{array}\right.\)

となります。しかしながら,この書き方はスマートとは言えません。実は,カッコ良く1つの式で書けるのです。まず,下のグラフを見てください。

\(x\)

\(y\)

黒の太いグラフが \(y = \sin x\) のグラフです。赤のグラフは \(y = \cos x\),青のグラフは \(y = -\sin x\),緑のグラフは \(y = -\cos x\) です。

黒 → 赤 → 青 → 緑 とグラフが左に等間隔で平行移動しているが分かると思います。どれだけ平行移動しているかと言うと,それぞれのグラフの山の位置を見れば \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) ずつであることが分かります。つまり,関数 \(y = \sin x\) は,微分するたびにそのグラフが \(x\) 軸正方向に \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\) だけ平行移動すると言えます。上の \(y^{(n)}\) のそれぞれの式で考えると

\(\begin{array}{l} \displaystyle y^{(1)} = \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \\ \displaystyle y^{(2)} = -\sin x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{\pi \cdot 2}{2}\right) \\ \displaystyle y^{(3)} = -\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi \cdot 2}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{\pi \cdot 3}{2}\right) \\ \displaystyle y^{(4)} = \sin x = \sin\left(x + \frac{\pi \cdot 3}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{\pi \cdot 4}{2}\right) \end{array}\)

さぁ,このように式を並べて見ると,もう分かりますね。

\(\displaystyle (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right)\)

関数 \(y = \sin x\)\(n\) 次導関数は,このように1つの式にまとめて表すことができるのです。

課題2

次の関数の \(n\) 次導関数を求めましょう。

  1. \(y = \cos x\) 解答 隠す
  2. \(y = \sin 2x\) 解答 隠す

ライプニッツの定理

2つの関数 \(f(x)\)\(g(x)\) について,それぞれが \(n\) 階微分可能であれば,2つの関数の積で表される関数 \(f(x)g(x)\)\(n\) 次導関数は次の定理により求めることができます。

ライプニッツの定理

\(\displaystyle \left\{ f(x) \cdot g(x) \right\}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} {}_n \mbox{C}_k f^{(n-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x)\)

証 明 こちらで PDFファイルが開きます。

ライプニッツの定理を \(\sum\) 記号を使わずに,最初の数項を書き表すと

\(\begin{array}{l} \left\{ f(x) \cdot g(x) \right\}^{(n)} \\ \displaystyle = f^{(n)}(x) \cdot g(x) \\ \displaystyle + \ n \cdot f^{(n - 1)}(x) \cdot g'(x) \\ \displaystyle + \ \frac{n(n - 1)}{2} \cdot f^{(n - 2)}(x) \cdot g''(x) \\ \displaystyle + \ \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} \cdot f^{(n - 3)}(x) \cdot g^{(3)}(x) \\ \hspace{3em} \vdots \end{array}\)

となります。\(g(x)\) が多項式関数の場合には,その次数より高い階数の導関数が \(0\) になるので,この定理が特に有効です。

例題4 \(y = xe^x\)

\(f(x) = e^x\)\(g(x) = x\) と考えます。

\(f(x)\) は何度微分しても \(f^{(n)} = e^x\) です。

\(g(x)\) については,\(g'(x) = 1\) で,2階以降は \(g^{(n)} = 0\) です。したがって

\(y^{(n)}\begin{array}[t]{l} = e^x \cdot x + n \cdot e^x \cdot 1 \\ = (x + n)e^x \end{array}\)

例題5 \(y = x^2 \sin x\)

\(f(x) = \sin x\)\(g(x) = x^2\) と考えます。

\(\begin{array}{ll} \displaystyle f^{(n)} = \sin\left( x + \frac{\pi n}{2}\right) & g(x) = x^2 \\ \displaystyle f^{(n - 1)} = -\cos\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) & g'(x) = 2x \\ \displaystyle f^{(n - 2)} = -\sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) & g''(x) = 2 \\ \displaystyle f^{(n - 3)} = \cos\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) & g^{(3)}(x) = 0 \end{array}\)

∴ \(\begin{array}[t]{r} \displaystyle y^{(n)} = \left\{x^2 - n(n - 1)\right\}\sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) - 2nx\cos\left(x + \frac{\pi n}{2}\right)\end{array}\)

【参考図書】理工系入門 微分積分(裳華房)

最終更新日時: 2021年 03月 5日(金曜日) 17:02