本時の目標

  1. 分数式の約分ができる。
  2. 2つ以上の分数式に対して,通分して加法・減法の計算ができる。
  3. 繁分数を簡単な分数式に表すことができる。

分数式の約分

分数(式)には,分母と分子に同じ数(式)を掛けたり,同じ数(式)で割ったりしても値が変わらないという性質

\[\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C} \quad \frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}\]

があって,この性質を用いて約分することができます。

例題1

分数式 \(\displaystyle \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3}\) を約分しましょう。

分母と分子を同時に割る式があれば良いのですが・・・

このままでは,そのような式があるかどうか? 分かりません。それを知るために,分母と分子を因数分解します

\(\displaystyle \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x - 3)}\)

そうすると,分母と分子に共通の因数 \(x + 1\) のあることが分かります。そこで,分母と分子を同時に \(x + 1\) で割ります。

\(\displaystyle \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 3} \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\cancel{(x + 1)}(x + 2)}{\cancel{(x + 1)}(x - 3)} \\ \displaystyle = \frac{x + 2}{x - 3} \end{array}\)

これで,約分することができました。もうこれ以上約分できない分数式を 既約な分数式(または 既約分数式)といいます。

課題1

次の分数式を約分して,既約な分数式にしましょう。

  1. \(\displaystyle \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 3x + 2}\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \frac{2x^2 - 5x - 3}{x^2 - 2x - 3}\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \frac{2x^2 - x - 1}{4x^2 + 4x + 1}\) 解答 隠す

分数式の足し算と引き算

例題2

分数式 \(\displaystyle \frac{x + 1}{x(x - 1)} - \frac{x - 1}{x(x + 1)}\) を通分して既約な分数式で表しましょう。

2つの分数式の分母を比べると,\(x\) が共通していて,さらに前の分数式の分母には \(x - 1\) が,後ろの分数式の分母には \(x + 1\) がそれぞれあります。したがって,共通の分母を \(x(x - 1)(x + 1)\) にすることができます。よって

\(\begin{array}{l} \hspace{1em} \displaystyle \frac{x + 1}{x(x - 1)} - \frac{x - 1}{x(x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{(x + 1)^2}{x(x - 1)(x + 1)} - \frac{(x - 1)^2}{x(x + 1)(x - 1)} \\ \displaystyle = \frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{4x}{x(x - 1)(x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{4}{(x - 1)(x + 1)} \end{array}\)

この計算で注意すべきことを2つ

  • 最後の約分を忘れないこと!!
  • 分子は展開して計算!分母は因数分解したままで!!

課題2

次の式を通分して既約な分数式で表しましょう。

  1. \(\displaystyle \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \frac{x + 2}{(x + 1)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 1)(x - 1)}\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \frac{x + 2}{x(x + 1)} - \frac{x + 6}{(x + 2)(x + 3)}\) 解答 隠す

GeoGebra で約分と通分の計算をしよう

GeoGebra のマニュアルサイトを探しても,分数式の計算に関する項目を見つけることができませんでした。しかしながら,もしかしたら・・・と試みたところ因数分解の Factor で計算できるようです。少なくとも,上で扱った計算に関しては,解答を得ることができますし,次に扱う 繁分数 についても Factor で計算することができます。

GeoGebra で 例題1 と 例題2 を解いた画面です。グラフは不要ですが,約分と足し算の計算ができています。

繁分数を簡単にする

次に 繁分数 の扱い方を覚えましょう。繁分数と言うのは

\[\displaystyle \frac{1 + \displaystyle\frac{x + 1}{x - 1}}{1 - \displaystyle\frac{x - 1}{x + 1}}\]

のように,分数式の分母や分子に更に分数式を含んでいる分数式です。これを簡単な分数式に直していきます。

何通りかの計算方法がありますので,ここでは,2通りの解答例を示します。

解答1

与式\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\left(1 + \displaystyle\frac{x + 1}{x - 1}\right)\times(x - 1)(x + 1)}{\left(1 - \displaystyle\frac{x - 1}{x + 1}\right)\times(x - 1)(x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{(x - 1)(x + 1) + (x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1) - (x - 1)^2} \\ \displaystyle = \frac{(x^2 - 1) + (x^2 + 2x + 1)}{(x^2 - 1) - (x^2 - 2x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{2x^2 + 2x}{2x - 2} \\ \displaystyle = \frac{2x(x + 1)}{2(x - 1)} \\ \displaystyle = \frac{x(x + 1)}{x - 1} \end{array}\)

解答2

与式\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left(1 + \frac{x + 1}{x - 1}\right)\div\left(1 - \frac{x - 1}{x + 1}\right) \\ \displaystyle = \frac{2x}{x - 1}\div\frac{2}{x + 1} \\ \displaystyle = \frac{2x}{x - 1}\times\frac{x + 1}{2} \\ \displaystyle = \frac{x(x + 1)}{x - 1} \end{array}\)

課題3

次の繁分数を簡単な分数で表しましょう。

  1. \(\displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}{x + 1}\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{x + 1}{x - 1}}{1 - \displaystyle\frac{x + 1}{x - 1}}\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x + 1} - 1}{x}\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle1 - \frac{1}{1 - \displaystyle\frac{1}{x}}\) 解答 隠す
最終更新日時: 2021年 03月 9日(火曜日) 17:12