テキスト（恒等式と部分分数）

方程式と恒等式

等式には 方程式 と 恒等式 の２種類があります。方程式 は

\(x^2 - 3x + 2 = 0\)

のように，ある特定の \(x\) の値でのみ成り立つ等式です。上の等式は \(x = 1\) と \(x ~= 2\) でのみ成り立ち，\(x\) にその他の値を代入しても成り立ちません。それに対して

\((x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)

は，\(x\) にどのような値を代入しても，必ず成り立ちます。このような等式を 恒等式 といいます。

与式の左辺を展開すると

\(x^2 + x - 6 = ax^2 + bx + c\)

となります。ここで，両辺の各項の係数を比較します。恒等式になるためには，左辺と右辺がまったく同じ式になっているということです。したがって，それぞれの係数を比較して

\(a = 1\)，\(b = 1\)，\(c = -6\)

となります。

次に，もう少し複雑な式を考えましょう。

右辺を展開して，\(x\) について整理します。

\(\begin{array}{l} x^2 = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c \\ x^2 = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c) \end{array}\)

両辺の各項の係数を比較すると

\(\left\{\begin{array}{lcc} 1 = a & \cdots & {\small (1.1)} \\ 0 = -2a + b & \cdots & {\small (1.2)} \\ 0 = a - b + c & \cdots & {\small (1.3)} \end{array}\right.\)

となります。これを \(a\)，\(b\)，\(c\) について解くと

\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = 1\)

課題１

次の等式が \(x\) の恒等式になるように，定数 \(a\)，\(b\) の値を定めましょう。

解答

部分分数分解

次は，分数式で上と同様のことをおこないます。

まず，両辺に \((x - 1)(x - 2)\) を掛けて分母を払います。

\(\begin{array}{l} 2x - 3 = A(x - 2) + B(x - 1) \ \cdots\ {\small (2.1)} \\ 2x - 3 = (A + B)x - (2A + B) \end{array}\)

両辺の各項の係数を比較して

\(\begin{array}{c} 2 = A + B,\quad 3 = 2A + B \\ \mbox{∴}\quad A = B = 1 \end{array}\)

実は，この形の式では，\((2.1)\)式に \(x = 1\) と \(x = 2\) を代入することにより \(A\) と \(B\) の値を決定することができ，こちらの方が簡単に計算ができます。

\((2.1)\) に \(x = 1\) を代入すると，\(-1 = -A\) となり，\(A = 1\)

\((2.1)\) に \(x = 2\) を代入すると，\(1 = B\) となり，\(B = 1\)

以上のように，\(A\) と \(B\) を決定できます。この手順は十分性を示しておらず数学的に言えば不十分ですが，「基礎数学」と「微分積分/演習」での扱う計算では不具合は生じません。そこで，少々目を瞑って，この求め方を良しとします。

さて，\(A\) と \(B\) が求められたことにより

\(\displaystyle \frac{2x - 3}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\)

が成り立つことが分かりました。この変形を 部分分数分解 といいます。

部分分数分解の計算は，GeoGebra を用いて行うことができます。

課題２

次の等式を満たす定数 \(A\)，\(B\)，\(C\) をそれぞれ求めることにより，与式を部分分数分解しましょう。

分母に２乗を含む分数式の部分分数分解

例題３

\(\displaystyle \frac{1}{x^2(x + 1)}\)

のように，分母に２乗を含む分数式の部分分数分解は，もう少し厄介になります。どのようにおくかというと・・・

\(\displaystyle \frac{1}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}\)

とします。この後は，上と同様に分母を払って係数を決めていきます。

\(1 = A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx^2\ \cdots\ {\small (3.1)}\)

ここで，\(x = 0\) を代入すると，\(A = 1\) が得られます。

次に，\(x = -1\) を代入すると，\(C = 1\) が得られます。

ところが，\(B\) の値を直接求められるような \(x\) の値がありません。仕方がないので，適当な値を \(x\) に代入します。 \(x = 1\) を代入しましょう。 \[\begin{eqnarray} && 1 = 2A + 2B + C \\[2px] && 1 = 2\cdot 1 + 2B + 1 \\[2px] ∴\quad && B = -1 \\[2px] ∴\quad && \frac{1}{x^2(x + 1)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \end{eqnarray}\]

と部分分数分解することができます。

課題３

次の式を満たす定数 \(A\)，\(B\)，\(C\) を求めることにより，与式を部分分数分解しましょう。