13 オイラーの公式と双曲線関数

本時の目標

  1. 指数関数と三角関数のマクローリン展開からオイラーの公式を理解する。
  2. 双曲線関数の定理を理解し,双曲線関数を含む式を適切に変形することができる。
  3. 双曲線関数の導関数を理解し,双曲線関数を含む関数を微分することができる。

\(e^x\)\(\sin x\)\(\cos x\) のマクローリン展開

\(e^x\)\(\sin x\)\(\cos x\) はマクローリン展開をすることができます。すなわち

\(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \cdots \\ \displaystyle \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots \\ \displaystyle \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + \cdots \end{array}\right.\)

が成り立つということです。近似的ではなく,\(=\) で結ばれる関係であるということに注意してください。しかも,いずれの式も \(x\) が実数全体で収束します。(本来は証明しなければなりませんが・・・前回書いたようにそこまでは扱いません。信用していただきます f^^;)

一番上の式において,\(x\)\(ix\) に置き換えてみます。\(i\) は虚数単位です。「虚数の指数って何だ?」と疑問に思うかもしれません。でも,そのことをこれから考えていきますので,何はともあれ置き換えてみましょう。

\(e^{ix}\begin{array}[t]{l} \displaystyle = 1 + ix + \frac{1}{2!}(ix)^2 + \frac{1}{3!}(ix)^3 + \frac{1}{4!}(ix)^4 + \frac{1}{5!}(ix)^5 + \cdots \\ \displaystyle = 1 + ix - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}ix^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}ix^5 + \cdots \\ \displaystyle = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \cdots + i\left(x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots \right) \end{array}\)

最後の式は,\(x\) を実数として実数部分と虚数部分に分けています。実数部分・虚数部分と \(\sin x\)\(\cos x\) のマクローリン展開とを比べてみましょう。実数部分と \(\cos x\) のマクローリン展開,虚数部分と \(\sin x\) のマクローリン展開がそれぞれ一致しています。

ということで \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) として良いと考えます。これを オイラーの公式 といいます。公式となっていますが,\(x\) が実数の場合の \(e^{ix}\) の定義と考えましょう。

オイラーの公式

\(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) (\(x\) は実数)

電気電子工学科の諸君は,すでに電気回路でこの式を見ているはずです。この定義は,\(e^x\)\(\sin x\)\(\cos x\) のマクローリン展開から導かれたものであるということを理解しておいてください。

オイラーの公式を用いると,三角関数の計算が簡単になる場合があります。その一例として,オイラーの公式を使って三角関数の加法定理を証明します。

\[\begin{array}{l} \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{array}\]

まず

\(e^{i(x + y)} = \cos(x + y) + i\sin(x + y) \tag{1}\)

が成り立ちます。一方で

\(e^{i(x + y)}\begin{array}[t]{l} = e^{ix} \times e^{iy} \\ = \left(\cos x + i\sin x\right)\left(\cos y + i\sin y\right) \\ = \cos x \cos y + \cos x \cdot i\sin y \\ \qquad + i\sin x \cos y + i\sin x \cdot i\sin y \\ = \cos x \cos y + i^2 \sin x \sin y \\ \qquad + i\sin x \cos y + i\cos x \sin y \\ = \left(\cos x \cos y - \sin x \sin y\right) \\ \qquad + i\left(\sin x \cos y + \cos x \sin y\right) \end{array} \tag{2}\)

\((1)\)\((2)\) の実数部分・虚数部分をそれぞれ比較すると,加法定理が得られます。

ところで,\(a\)\(b\) が実数のとき,複素数 \(a + ib\) に対して \(a - ib\) を共役複素数といいます。そのことを踏まえて,次の問いを考えてください。

課題1

  1. \(e^{-ix}\) は,\(e^{ix}\) の共役複素数であることを示しましょう。 解答 隠す
  2. \(\cos x\)\(e^{ix}\)\(e^{-ix}\) とで表しましょう。 解答 隠す
  3. \(\sin x\)\(e^{ix}\)\(e^{-ix}\) とで表しましょう。 解答 隠す

双曲線関数

課題1の2. と3. から

\(\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\mbox{,}\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\)

であると分かりました。これら2つの式の右辺から \(i\) を取り除きます。すると

\(\displaystyle \frac{e^x + e^{-x}}{2}\mbox{,}\frac{e^x - e^{-x}}{2}\)

という2つの関数ができあがります。左側を \(\cosh x\)(ハイパボリックコサイン),右側を \(\sinh x\)(ハイパボリックサイン)といいます。

双曲線関数

\(\displaystyle \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\mbox{,}\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)

これらをなぜ双曲線関数と呼ぶのか?が気になるという向きもあろうかと思います。後ほどホンの少しだけ触れますので,見破ってください ^^

課題2

GeoGebra で \(y = \cosh x\) 及び \(y = \sinh x\) のグラフを描きましょう。

GeoGebra には,双曲線関数 \(\cosh x\)\(\sinh x\) が組み込まれていて

\(\cosh(x)\mbox{,}\sinh(x)\)

と記述します。

\((\sin x)^2 = \sin^2 x\)\((\cos x)^2 = \cos^2 x\) と書いたように,双曲線関数も \(\cosh^2 x\)\(\sinh^2 x\) という記述をします。

課題3

次の式が成り立つことを示しましょう。

  1. \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\) 解答 隠す
  2. \(\cosh(x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\) 解答 隠す
  3. \(\sinh(x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y\) 解答 隠す

\(\left(\cos x \mbox{,} \sin x\right)\) は円周 \(x^2 + y^2 = 1\) の上にありますが,1. から点 \(\left(\cosh x \mbox{,} \sinh x\right)\) は曲線 \(x^2 - y^2 = 1\) の上にあることが分かります。

2. 3. は加法定理と呼ばれる式です。三角関数の加法定理とよく似ています。

双曲線関数の導関数

続いて,双曲線関数の導関数を求めましょう。上で見たように,双曲線関数は三角関数と似た性質をもっています。導関数についても似ています。

双曲線関数の導関数

\(\left(\cosh x\right)' = \sinh x \mbox{,} \left(\sinh x\right)' = \cosh x\)

課題4

双曲線関数の導関数について,上の式が成り立つことを示しましょう。 解答 隠す

課題5 次の関数を微分しましょう。

  1. \(\displaystyle f(x) = \sinh 2x\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle f(x) = \cosh(3x - 1)\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle f(x) = \sinh x \cosh x\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle f(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x}\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle f(x) = \frac{\cosh x}{\sinh x}\) 解答 隠す

オマケです

双曲線関数という名称について,気づいても気づかなくてもどちらでも良いのですが・・・

気づいた方の中に「それならば,三角関数は 円関数 などと呼ばないのか?」という疑問をもった方もいらっしゃるでしょう。実は,その通りです。円関数は三角関数の別名です。

気になって眠れないという方がないように,付けたしでした。

【参考図書】数学辞典(朝倉書店)/ 理工系入門 微分積分(裳華房)

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:04 PM