15 種々の関数のグラフ
本時の目標
次のことに留意して,関数のグラフを描くことができる。
- 関数の増減及び極値を明確にする。
- 曲線の凹凸及び変曲点を明確にする。
- 漸近線をもつ場合に,漸近線の方程式を明確にする。
課題1
- \(\displaystyle y = x + \frac{1}{x}\) 解答 隠す
- \(\displaystyle y = \frac{x}{x^2 - 1}\) 解答 隠す
- \(\displaystyle y = \frac{x}{x^2 + 1}\) 解答 隠す
- \(\displaystyle y = \frac{x^2}{x^2 + 1}\) 解答 隠す
- \(y = x \sqrt{x + 1}\) 解答 隠す
- \(y = 2\cos^2 x + 4\cos x - 1 \quad(-\pi \leqq x \leqq \pi)\) 解答 隠す
- \(y = xe^x\) 解答 隠す
- \(y = \log\left(x^2 + 1\right)\) 解答 隠す
\[\begin{array}[t]{l} y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 1 - \frac{1}{x^2} \\ \displaystyle = \frac{x^2 - 1}{x^2} \\ \displaystyle = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2} \end{array} \quad y'' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = -(x^{-2})' \\ \displaystyle = \frac{2}{x^3} \end{array} \\[8px] \begin{array}[t]{c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y' & + & 0 & - & / & - & 0 & + \\ \hline y'' & - & - & - & / & + & + & + \\ \hline y & \nearrow_{\cap} & -2 & \searrow^{\cap} & / & \searrow^{\cup} & 2 & \nearrow_{\cup} \\ \hline \end{array} \end{array}\]
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\) だから \(x \to -\infty\) 及び \(x \to \infty\) で直線 \(y = x\) に漸近する。
また,\(\displaystyle \lim_{x \to -0} y = -\infty\),\(\displaystyle \lim_{x \to +0} y = \infty\) だから,\(x \to -\infty\) 及び \(x \to \infty\) で \(y\) 軸に漸近する。
\(x\)
\(y\)
\[\begin{array}[t]{l} y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1 \cdot (x^2 - 1) - x \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} \\ \displaystyle = -\frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} < 0 \end{array} \\ y'' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = - \frac{2x \cdot (x^2 - 1)^2 - (x^2 + 1) \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4} \\ \displaystyle = -\frac{2x(x^2 - 1) - 4x(x^2 + 1)}{(x + 1)^3 (x - 1)^3} \\ \displaystyle = -\frac{2x\{(x^2 - 1) - 2(x^2 + 1)\}}{(x + 1)^3 (x - 1)^3} \\ \displaystyle = \frac{2x(x^2 + 3)}{(x + 1)^3 (x - 1)^3} \end{array} \\[8px] \begin{array}[t]{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y' & - & / & - & - & - & / & - \\ \hline y'' & - & / & + & 0 & - & / & + \\ \hline y & \searrow^{\cap} & / & \searrow^{\cup} & 0 & \searrow^{\cap} & / & \searrow^{\cup} \\ \hline \end{array} \end{array}\]
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to \infty} y = 0\) だから \(x \to -\infty\) 及び \(x \to \infty\) で \(x\) 軸に漸近する。
また,\(\displaystyle \lim_{x \to -1-0} y = -\infty\),\(\displaystyle \lim_{x \to -1+0} y = \infty\),\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0} y = -\infty\),\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} y = \infty\) だから,2直線 \(x = \pm 1\) が漸近線である。
\(x\)
\(y\)
\[\begin{array}[t]{l} y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \\ \displaystyle = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} \\ \displaystyle = -\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x^2 + 1)^2} \end{array} \\ y'' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{-2x \cdot (x^2 + 1)^2 - (-x^2 + 1) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4} \\ \displaystyle = \frac{-2x(x^2 + 1) + 4x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3} \\ \displaystyle = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3} \end{array} \\[8px] \begin{array}[t]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -\sqrt{3} & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots \\ \hline y' & - & - & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline y'' & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \hline y & \searrow^{\cap} & -\frac{\sqrt{3}}{4} & \searrow^{\cup} & -\frac{1}{2} & \nearrow_{\cup} & 0 & \nearrow_{\cap} & \frac{1}{2} & \searrow^{\cap} & \frac{\sqrt{3}}{4} & \searrow^{\cup} \\ \hline \end{array} \end{array}\]
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to \infty} y = 0\) だから \(x \to -\infty\) 及び \(x \to \infty\) で \(x\) 軸に漸近する。
\(x\)
\(y\)
\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle y = -\frac{1}{x^2 + 1} + 1 \\ \displaystyle y' = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \\ y'' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{2(x^2 + 1)^2 - 2x \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4} \\ \displaystyle = \frac{2(x^2 + 1) - 8x^2}{(x^2 + 1)^3} \\ \displaystyle = -\frac{2(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3} \end{array} \end{array} \\[8px] \begin{array}[t]{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots \\ \hline y' & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline y'' & - & 0 & + & + & 0 & - \\ \hline y & \searrow^{\cap} & \frac{1}{4} & \searrow^{\cup} & 0 & \nearrow_{\cup} & \frac{1}{4} & \nearrow_{\cap} \\ \hline \end{array}\]
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to \infty} y = 1\) だから \(x \to -\infty\) 及び \(x \to \infty\) で直線 \(y = 1\) に漸近する。
\(x\)
\(y\)
変曲点:\(\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \mbox{,} \frac{1}{4}\right)\)
\[\begin{array}[t]{l} y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2\sqrt{x + 1}} \\ \displaystyle = \frac{2(x + 1) + x}{2\sqrt{x + 1}} \\ \displaystyle = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x + 1}} \end{array} \\ y'' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{3 \cdot \sqrt{x + 1} - (3x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}}{2(x + 1)} \\ \displaystyle = \frac{6(x + 1) - (3x + 2)}{4(x + 1)\sqrt{x + 1}} \\ \displaystyle = \frac{3x + 4}{4(x + 1)\sqrt{x + 1}} > 0 \end{array} \\[8px] \begin{array}[t]{c|c|c|c|c} \hline x & -1 & \cdots & -\frac{2}{3} & \cdots \\ \hline y' & - & - & 0 & + \\ \hline y & 0 & \searrow^{\cup} & -\frac{2\sqrt{3}}{9} & \nearrow_{\cup} \\ \hline \end{array} \end{array}\]
\(x\)
\(y\)
極小:\(\left(-\frac{2}{3} \mbox{,} -\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)\)
\[\begin{array}[t]{l} y' \begin{array}[t]{l} = -4\cos x \cdot \sin x - 4\sin x \\ = -4\sin x (\cos x + 1) \end{array} \\ y'' \begin{array}[t]{l} = -4\{\cos x (\cos x + 1) - \sin^2 x\} \\ = -4(2\cos^2 x + \cos x -1) \\ = -4(2\cos x - 1)(\cos x + 1) \end{array} \end{array}\]\[\begin{array}[t]{l} \end{array} \begin{array}[t]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & -\pi & \cdots & -\frac{\pi}{3} & \cdots & 0 & \cdots & \frac{\pi}{3} & \cdots & \pi \\ \hline y' & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - & 0 \\ \hline y'' & + & + & 0 & - & - & - & 0 & + & + \\ \hline y & -3 & \nearrow_{\cup} & \frac{3}{2} & \nearrow_{\cap} & 5 & \searrow^{\cap} & \frac{3}{2} & \searrow^{\cup} & -3 \\ \hline \end{array}\]
\(x\)
\(y\)
変曲点:\(\displaystyle \left(\pm\frac{\pi}{3} \mbox{,} \frac{3}{2}\right)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0\) より \(x \to -\infty\) で \(x\) 軸に漸近する。
\(x\)
\(y\)
極小:\(\left(-1 \mbox{,} -\frac{1}{e}\right)\) 変曲点:\(\left(-2 \mbox{,} -\frac{2}{e^2}\right)\)
\(x\)
\(y\)
変曲点:\(\left(\pm 1 \mbox{,} \log 2\right)\)