17 基本的な関数の積分
本時の目標
- \(x^r\)，\(\sin x\)，\(\cos x\)，\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}\)，\(e^x\) について，原始関数を求めることができる。
- 上記の基本的な関数について，原始関数から不定積分と定積分を求めることができる。
前回，まず定積分をリーマン和の極限として定義し，さらに \(\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt\) として不定積分を定義しました。ところが，この定義のままに定積分・不定積分を求めることは難しいため，連続関数については前回の最後に示した「微積分の基本定理」を利用することになります。
\[\begin{array}{l} \displaystyle \int f(x) \,dx = F(x) + C \\ \displaystyle \int_a^b f(x) \,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\end{array}\]
（\(F(x)\) は \(f(x)\) の原始関数）
したがって，現実問題として，本講座では原始関数を求めるとことが積分における重要な作業になります。
\(x^r\) の不定積分
任意の実数 \(r\) について \((x^r)' = rx^{r - 1}\) が成り立つので，\(x^r\) について次の式が成り立ちます。
\(x^n\) の不定積分
\[\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{1}{r + 1}x^{r + 1} + C \quad(r \ne -1)\]
この式では \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\) を扱えないことに注意しましょう。
それでは，\(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\) はどのようになるのでしょうか？ \(\displaystyle F'(x) = \frac{1}{x}\) となる関数を思い浮かべればイイですね。そうです。\[\left(\log |\,x|\,\right)' = \frac{1}{x}\]
\(\displaystyle \frac{1}{x}\) の不定積分
\(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \log |\,x\,| + C\)
三角関数の不定積分
次に三角関数です。三角関数の導関数は\[(\sin x)' = \cos x \mbox{，} (\cos x)' = -\sin x \mbox{，} (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\]でしたから，三角関数の不定積分について次が成り立ちます。
三角関数の不定積分
\[\begin{array}{l} \displaystyle \int \sin x \,dx = -\cos x + C \\ \displaystyle \int \cos x \,dx = \sin x + C \\ \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \tan x + C \end{array}\]
ん～，\(\displaystyle \int \tan x \,dx\) がありませんねぇ。\(\tan x\) の積分については次の「置換積分」で扱います。
逆三角関数の導関数も思い出しましょう。\[(\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\mbox{，}(\tan^{-1}x)' = \frac{1}{1 + x^2}\]でしたから，逆三角関数に関連して次が成り立ちます。
\[\begin{array}{l} \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \sin^{-1} x + C \\ \displaystyle \int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \tan^{-1}x + C \end{array}\]
2つの関数の積分もよく出てくる形ですから覚えておきましょう。
できれば，もう一つ覚えておきたい積分があります。三角関数ではなく，逆双曲線関数 \(\sinh^{-1} x\) に関するものです。
\[\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx = \sinh^{-1}x + C\]
示しておきましょう。\(\displaystyle y = \sinh^{-1}x =\frac{e^x - e^{-x}}{2}\) ですから，まず，\(x\) と \(y\) を入れ替えて \[x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}\] この式の両辺を \(2e^{y}\) 倍します。すると \[\begin{array}{l} 2x\,e^y = (e^y)^2 - 1 \\[4px] (e^y)^2 - 2x\,e^y -1 = 0 \\ ∴ \quad e^y = x + \sqrt{x^2 +1}\quad (∵ \quad e^y > 0) \\[4px] ∴ \quad y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1} \\[4px] ∴ \quad y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)'}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \\[4px] \displaystyle = \frac{1 + \displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \\[4px] \displaystyle = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}\,\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)} \\[4px] \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{array} \end{array}\]
指数関数の不定積分
指数関数の導関数は次のとおりでした。\[(e^x)' = e^x\mbox{，}(a^x)' = a^x \log a\quad(a>0\mbox{，}a \ne 1)\]
指数関数の不定積分
\[\begin{array}{l} \displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C \\ \displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C \end{array}\]
以上が，まず積分の基本として覚えておかなければならない不定積分（原始関数）です。\(\displaystyle \int \log x\,dx\) がありませんねぇ。これは「部分積分」の回に扱います。
また，基礎数学では，微分の線形性から積分の演算にも線形性のあることを確認しました。
\[\begin{array}{l} \displaystyle \int \left\{c_1 f(x) + c_2 g(x)\right\}\,dx = c_1 \int f(x) \,dx + c_2 \int g(x) \,dx \\ \displaystyle \int_a^b \left\{c_1 f(x) + c_2 g(x)\right\}\,dx = c_1 \int_a^b f(x) \,dx + c_2 \int_a^b g(x) \,dx \end{array}\]
例題１
次の不定積分・定積分を求めましょう。
- \(\displaystyle \int (x + 1)(x + 2) \,dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2} \,dx\)
- \(\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \,dx\)
- \(\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x \,dx\)
解 答
1. \(\displaystyle \int (x + 1)(x + 2) \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \left(x^2 + 3x + 2\right)\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \end{array}\)
2. \(\displaystyle \int \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^2} \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \left(x + 1 + \frac{1}{x} + x^{-2}\right)\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}x^2 + x + \log |\,x\,| + \frac{1}{-1}x^{-1} + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2}x^2 + x + \log |\,x\,| - \frac{1}{x} + C \end{array}\)
3. \(\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_1^4 x^{\frac{1}{2}} \,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1}\right]_1^4 \\ \displaystyle = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4 \\ \displaystyle = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{14}{3} \end{array}\)
4. \(\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} \\ = \left(-\cos\pi\right) - \left(-\cos 0\right) \\ = 1 - (-1) = 2 \end{array}\)
演習問題
課題１
次の不定積分を求めましょう。
- \(\displaystyle \int \left(3\sin x + 2\cos x\right) \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(1 + \frac{2}{x}\right) \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \frac{x^2 + 3x - 2}{x} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int e^{2x} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int e^{-x} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \cos 3x \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \sin (2x - 3) \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int (2x + 1)^3 \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \frac{1}{3x + 2} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \sqrt{2x + 1} \,dx\) 解答 隠す
課題２
次の定積分を求めましょう。
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} e^x \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin 2x \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos \frac{x}{2} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{3x + 1} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx\) 解答 隠す