18 置換積分

本時の目標

  1. 置換積分の計算方法を確認する。
  2. 置換積分により不定積分が求められる場合を理解し,適切な置き換えにより不定積分を求めることができる。
  3. 置換積分により定積分を求めることができる。

私たちは,基礎数学の第26回「簡単な置換積分」で,公式「合成関数の導関数(連鎖率)」\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]を利用して次の式が成り立つことを学びました。

\(\displaystyle \int f(x)\,dx = \int f(x) \cdot \frac{1}{\displaystyle \frac{du}{dx}}\,du \tag{♩}\)

さらに,この式を使って被積分関数を展開することなく \(\displaystyle \int (2x + 1)^5\,dx\) を次のように求めました。

\(u = 2x + 1\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 2\)

\[∴ \quad \displaystyle \int (2x + 1)^5\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int u^5 \cdot \frac{1}{2}\,du \\ \displaystyle = \frac{1}{6}u^6 \cdot \frac{1}{2} + C \\ \displaystyle = \frac{1}{12}u^6 + C \end{array}\]

ここで,\(u\)\(2x +1\) に戻すと\[\int (2x + 1)^5 \,dx = \frac{1}{12}(2x + 1)^6 + C\]

置換積分による不定積分の計算

ここでは,(♩) を用いて更に複雑な関数の不定積分を求めていきます。

(♩) を形式的に見ると,変数の置き換えをしたときに

\(\displaystyle dx = \frac{1}{\displaystyle\frac{du}{dx}}\,du\) または \(\displaystyle dx = \frac{dx}{du}\,du\)

と積分変数を取り換えられることを意味します。

例題1

不定積分 \(\displaystyle \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx\) を求めましょう。

解 答

\(u = x^2 + 1\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x\)\[\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{1}{2x} \,du \\ \displaystyle = \int \frac{\cancel{x}}{u} \cdot \frac{1}{2\cancel{x}} \,du \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \,du \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\log |\,u\,| + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \log(x^2 + 1) + C \\ \displaystyle \Big( = \log \sqrt{x^2 + 1} + C \Big) \end{array}\]

この計算手順では,偶々 \(x\) が約分されて消えたように見えます。しかし,\(u = x^2 + 1\) とおいた時点ですでに,\(u' = 2x\) であることを考慮しています。形式的に次のように書き換えることもでき,この書き方の方が意図していることを分かりやすく表現していると言えるでしょう。

\(u = x^2 + 1\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x \quad \mbox{∴}\quad \frac{du}{2} = x\,dx\)\[\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x\,dx \\ \displaystyle = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2}\\ \displaystyle = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \,du \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\log |\,u\,| + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \log(x^2 + 1) + C \end{array}\]

例題2

不定積分 \(\displaystyle \int \sin x \cos x \,dx\) を求めましょう。

解 答

\((\sin x)' = \cos x\) であることを使います。\(u = \sin x\) とおくと\[\frac{du}{dx} = \cos x \quad \mbox{∴} \quad du = \cos x \,dx \]\[\int \sin x \cos x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \sin x (\cos x \,dx) \\ \displaystyle = \int u \,du \\ \displaystyle = \frac{1}{2}u^2 + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \sin^2 x + C \end{array}\]

例題3

不定積分 \(\displaystyle \int x(x + 1)^5 \,dx\) を求めましょう。

解 答

\(u = x + 1\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 1 \quad \mbox{∴} \quad du = dx\)

\(\displaystyle \int x(x + 1)^5 \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int (u - 1)u^5 \,du \\ \displaystyle = \int \left(u^6 - u^5\right) \,du \\ \displaystyle = \frac{1}{7}u^7 - \frac{1}{6}u^6 + C \\ \displaystyle = \frac{1}{42} u^6(6u - 7) + C \\ \displaystyle = \frac{1}{42} (x + 1)^6 (6x - 1) + C \end{array}\)

課題1

置換積分により次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle \int (5x - 1)^3 \,dx\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \int e^{-2x} \,dx\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \int \frac{1}{(3x + 1)^2} \,dx\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle \int x\sqrt{x^2 + 2} \,dx\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle \int \frac{e^x}{1 + e^x} \,dx\) 解答 隠す
  6. \(\displaystyle \int 4\cos^3{x}\sin{x}\,dx\) 解答 隠す
  7. \(\displaystyle \int 2xe^{x^2} \,dx\) 解答 隠す
  8. \(\displaystyle \int x\sin(x^2 + 1)\,dx\) 解答 隠す
  9. \(\displaystyle \int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \,dx\) 解答 隠す
  10. \(\displaystyle \int \frac{x + 3}{x^2 + 1} \,dx\) 解答 隠す
  11. \(\displaystyle \int \frac{\cos x}{\sin x} \,dx\) 解答 隠す
  12. \(\displaystyle \int \tan x \,dx\) 解答 隠す

5. 9. 11. 12. は,\(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx\) の形と見ることができます。\[(\log |\,f(x)\,|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}\]でしたから\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \log |\,f(x)\,| + C\]が成り立ちます。課題1 の解答には \(u = f(x)\) の置き換えを使っていますが,この式を覚えておけば計算の手間がぐっと少なくなります。この積分は,微分方程式を解くときなど頻繁に現れます。

\(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \log |\,f(x)\,| + C\)

置換積分による定積分の計算

ここでは,置換積分法を使った定積分の計算を学びます。早速,例題から

例題4

定積分 \(\displaystyle \int_{0}^{1} (2x + 1)^3 \,dx\) の値を求めましょう。

\(u = 2x + 1\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 2 \quad \mbox{∴} \quad \frac{du}{2} = dx\)\[\begin{array}[t]{l} \hspace{1.6em} \displaystyle \int (2x + 1)^3 \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int u^3 \cdot \frac{du}{2} \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C \\ \displaystyle = \frac{1}{8} (2x + 1)^4 + C \end{array} \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad \int_0^1 (2x + 1)^3 \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left[\frac{1}{8} (2x + 1)^4\right]_0^1 \\ \displaystyle = \frac{1}{8} \left(3^4 - 1^4\right) = 10 \end{array} \end{array}\]

と求められるのですが・・・ 2段階の計算手順になっていることと,置き換えた積分変数 \(u\) を再び \(x\) に戻しているところが2度手間になっています。そこで,定積分の値は次の解答のように求めます。

解 答

\(0 \leqq x \leqq 1\) における積分です。\(u = 2x + 1\) とおくと \(x\)\(0 \to 1\) の変化をするとき \(u\)\(1 \to 3\) の変化をします。したがって\[\int_{0}^{1} (2x + 1)^3 \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_1^3 u^3 \cdot \frac{du}{2} \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4\right]_1^3 \\ \displaystyle = \frac{1}{8} (3^4 - 1^4) = 10 \end{array}\]

例題5

定積分 \(\displaystyle \int_0^1 x\sqrt{x^2 + 1} \,dx\) の値を求めましょう。

解 答

\(u = x^2 + 1\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x \quad \mbox{∴} \quad \frac{du}{2} = x\,dx\)
また \(\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & 1 \\ \hline u & 1 & \to & 2 \end{array}\)\[\int_0^1 x\sqrt{x^2 + 1} \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^1 \sqrt{x^2 + 1} \cdot (x \,dx) \\ \displaystyle = \int_1^2 u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{du}{2} \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_1^2 \\ \displaystyle = \frac{1}{3}\left(2^{\frac{3}{2}} - 1\right) \\ \displaystyle = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3} \end{array}\]

課題2

次の定積分の値を求めましょう。

  1. \(\displaystyle \int_{0}^{1} (2x - 3)^3 \,dx\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(3x + 2)^2} \,dx\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \int_{1}^{2} x(x - 1)^5 \,dx\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle \int_{0}^{1} (x + 1)\sqrt{x^2 + 2x} \,dx\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^3}{x^2 + 1} \,dx\) 解答 隠す

【参考図書】理工系入門 微分積分(裳華房)

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:06 PM