21 無理関数の積分

本時の目標

  1. 置換積分により,\(\sqrt{x + a}\) を含む無理関数の不定積分を求めることができる。
  2. \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) を含む不定積分を求めることができる。
  3. \(u = x + \sqrt{1 + x^2}\) の置き換えにより,\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \,dx\) を求めることができる。
  4. 部分積分を用いて,\(\displaystyle \int \sqrt{1 - x^2} \,dx\)\(\displaystyle \int \sqrt{1 + x^2} \,dx\) を求めることができる。

\(\sqrt{x + a}\) を含む関数の不定積分

例題1

不定積分 \(\displaystyle \int x \sqrt{x + 1}\,dx\) を求めましょう。

解 答

置換積分を行います。まずは,\(u = x + 1\) とおいてみましょう。\[\frac{du}{dx} = 1 \quad \mbox{∴} \quad du = dx\]\[\int x \sqrt{x + 1}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int (u - 1)\sqrt{u} \,du \\ \displaystyle = \int \left(u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}\right) \,du \\ \displaystyle = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ \displaystyle = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}}\left(3u - 5\right) + C \\ \displaystyle = \frac{2}{15} (x + 1)^{\frac{3}{2}} \left\{3(x + 1) - 5\right\} + C \\ \displaystyle = \frac{2}{15}(x + 1)^{\frac{3}{2}}(3x - 2) + C\end{array}\]

これで計算できるのですが,一般的には \(u = \sqrt{x + 1}\) とおいた方が計算が容易になります。\[\begin{array}{l} \displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{2u} \\ \mbox{∴} \quad 2u\,du = dx \end{array}\]\[\int x \sqrt{x + 1}\,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int (u^2 - 1)u \cdot 2u \,du \\ \displaystyle = 2 \int (u^4 - u^2)\,du \\ \displaystyle = 2\left(\frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3}\right) + C \\ \displaystyle = \frac{2}{15}u^3(3u^2 - 5) + C \\ \displaystyle = \frac{2}{15}(x + 1)^{\frac{3}{2}}(3x - 2) + C \end{array}\]

特に,\(\displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} \,dx\) のように,分母に根号が入った式の場合に威力絶大です。

例題2

不定積分 \(\displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} \,dx\) を求めましょう。

解 答

\(u = \sqrt{x + 1}\) とおくと,\(\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}\)\[\mbox{∴} \quad 2\,du = \frac{dx}{\sqrt{x + 1}}\]また,\(u^2 = x + 1\) だから \(x = u^2 - 1\)\[\int \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{x} \cdot \frac{dx}{\sqrt{x + 1}} \\ \displaystyle = 2 \int \frac{1}{u^2 - 1} \,du \\ \displaystyle = 2 \int \frac{1}{(u - 1)(u + 1)}\,du \\ \displaystyle = \int \left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1}\right) \,du \\ \displaystyle = \log |\,u - 1\,| - \log |\,u + 1\,| + C \\ \displaystyle = \log \left|\frac{u - 1}{u + 1}\right| + C \\ \displaystyle = \log \left|\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x + 1} + 1}\right| + C \end{array}\]

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) を含む積分

例題3 次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle I_1 = \int \frac{x + 1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx\)
  2. \(\displaystyle I_2 = \int \sqrt{1 - x^2} \,dx\)

解 答

\[I_1 = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx + \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx\]と2つに分けて積分します。ナゼでしょうか?

被積分関数の分母が \(\sqrt{1 - x^2}\) です。\(u = 1 - x^2\) とおけば,\(\displaystyle \frac{du}{dx} = -2x\) となるので,\(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx\) は置換積分で求めることができそうです。さらに,後半の \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx\) については\[\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx = \sin^{-1} x + C\]であることが分かっています。

それでは,前半の置換積分です。前述のとおり \(u = 1 - x^2\) でイイのですが,\(u = \sqrt{1 - x^2}\) とおいた方が計算が楽です。\[\begin{array}{l} \displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1 - x^2}} \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad -du = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = -\int \,du \\ \displaystyle = -u + C \\ = -\sqrt{1 - x^2} + C \\ \end{array} \end{array}\]以上より\[I_1 = -\sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x + C\]

\(I_2\)\(\displaystyle \int \log x \,dx\) を求めたときと同じように部分積分を行います。\[\begin{array}{l} \displaystyle \int \sqrt{1 - x^2} \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int (x)' \cdot \sqrt{1 - x^2} \,dx \\ \displaystyle = x \cdot \sqrt{1 - x^2} - \int x \cdot \frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1 - x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x \sqrt{1 - x^2} - \int \frac{-x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x \sqrt{1 - x^2} - \int \frac{1 - x^2 - 1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x \sqrt{1 - x^2} - \int \left(\frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \,dx \\ \displaystyle = x\sqrt{1 - x^2} - \int \sqrt{1 - x^2} \,dx + \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,dx \\ = x\sqrt{1 - x^2} - I_2 + \sin^{-1} x \end{array} \\[8px] \begin{array}{l} \displaystyle \mbox{∴} \quad 2I_2 = x \sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad I_2 = \frac{1}{2} \left(x \sqrt{1 - x^2} + \sin^{-1} x\right) + C \end{array} \end{array}\]

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\) を含む積分

例題4 次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle I_3 = \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \,dx\)
  2. \(\displaystyle I_4 = \int \sqrt{1 + x^2} \,dx\)

解 答

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\) の積分は \(\displaystyle u = x + \sqrt{1 + x^2}\) という置き換えをします。\[\begin{array}{l} u = x + \sqrt{1 + x^2} \\ \displaystyle \frac{du}{dx} \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 1 + \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1 + x^2}} \\ \displaystyle = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}} \\ \displaystyle = \frac{u}{\sqrt{1 + x^2}} \end{array} \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} \end{array} \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad I_3 \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{u} \,du \\ \displaystyle = \log |\,u\,| + C \\ \displaystyle = \log \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C \end{array}\]

\(I_4\) も部分積分により求めます。\[\begin{array}{l} I_4 \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \sqrt{1 + x^2} \,dx \\ \displaystyle = \int (x)' \cdot \sqrt{1 + x^2} \,dx \\ \displaystyle = x \cdot \sqrt{1 + x^2} - \int x \cdot \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1 + x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x\sqrt{1 + x^2} - \int \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x\sqrt{1 + x^2} - \int \frac{1 + x^2 - 1}{\sqrt{1 + x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x\sqrt{1 + x^2} - \int \frac{1 + x^2}{\sqrt{1 + x^2}} \,dx + \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \,dx \\ \displaystyle = x\sqrt{1 + x^2} - I_4 + \log \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) \end{array} \\[8px] \begin{array}{l} \displaystyle \mbox{∴} \quad 2I_4 = x\sqrt{1 + x^2} + \log \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) \\ \displaystyle \mbox{∴} \quad I_4 = \frac{1}{2}\left\{x\sqrt{1 + x^2} + \log \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)\right\} + C \end{array} \end{array}\]

最終更新日時: 2021年 03月 5日(金曜日) 17:07