22 三角関数の積分

本時の目標

  1. 2倍角の公式を用いて,\(\sin^2 x\)\(\cos^2 x\) などを積分することができる。
  2. 「積→和 の公式」を用いて,\(\sin mx \cos nx\) などを積分することができる。
  3. \(u = \sin x\)\(u = \cos x\) の置き換えによる積分の計算をすることができる。
  4. \(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) の置き換えによる積分の計算をすることができる。

三角関数を扱う場合には,積分に限らず次数に注目する必要があります。なぜなら,2倍角の公式や3倍角の公式\[\begin{array}[t]{l} \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x \begin{array}[t]{l} = \cos^2 x - \sin^2 x \\ = 2\cos^2 x - 1 \\ = 1 - 2\sin^2 x \end{array} \\ \displaystyle \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \\[8px] \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \\ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \end{array}\]から分かるように,引数の係数と展開したときの次数が一致しているということと,さらに1次の式,2次の式などの扱いがある程度パターン化されているからです。

それではまず,2次の式の場合から,どのように積分するかを見ていきましょう。

2倍角の公式の利用

例題1 次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle \int \sin^2 x \,dx\)
  2. \(\displaystyle \int \sin x \cos x \,dx\)
  3. \(\displaystyle \int \tan^2 x \,dx\)

解 答

\(\sin^2 x\)\(\cos\) の2倍角の公式を用いて,1次式に変形します。\[\begin{array}{l} \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \\ \mbox{∴} \quad \displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \end{array}\]\[\int \sin^2 x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \left\{x - (\sin 2x) \cdot \frac{1}{2}\right\} + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + C\end{array}\]

\(\sin x \cos x\)\(\sin\) の2倍角の公式を使って\[\begin{array}{l}\sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ \mbox{∴} \quad \displaystyle \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}\end{array}\]\[\int \sin x \cos x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{\sin 2x}{2} \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \cdot (-\cos 2x) \cdot \frac{1}{2} + C \\ \displaystyle = -\frac{1}{4} \cos 2x + C \end{array}\]

\(\tan^2 x\) は2倍角の公式ではなく,\(\displaystyle 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) を使います。\[\int \tan^2 x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) \,dx \\ \displaystyle = \tan x - x + C \end{array}\]

「積→和 の公式」の利用

加法定理から三角関数の積を和に変形する公式が得られます。\[\begin{array}[t]{l} \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \quad \cdots \quad (1) \\ \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \quad \cdots \quad (2) \\ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \alpha \quad \cdots \quad (3) \\ \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \quad \cdots \quad (4) \end{array}\]\((1) + (2)\) より\[\begin{array}[t]{cl} & \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ +) & \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ \hline & \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta \\ \mbox{∴} & \displaystyle \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \big\{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\big\} \end{array}\]\((3) + (4)\) より\[\begin{array}[t]{cl} & \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ +) & \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \hline & \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \\ \mbox{∴} & \displaystyle \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \big\{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\big\} \end{array}\]\((3) - (4)\) より\[\begin{array}[t]{cl} & \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ -) & \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \hline & \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \\ \mbox{∴} & \displaystyle \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \big\{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\big\} \end{array}\]

積→和 の公式

\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \big\{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\big\} \\ \displaystyle \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \big\{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\big\} \\ \displaystyle \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \big\{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\big\} \end{array}\)

例題2

「積→和 の公式」を用いて,\(\sin 2x \cos x\)\(\cos 2x \cos x\)\(\sin 2x \sin x\) の不定積分を求めましょう。

解 答\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle \int \sin 2x \cos x \,dx \\ \displaystyle = \int \frac{1}{2}\big\{\sin (2x + x) + \sin (2x - x)\big\} \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \int \left(\sin 3x + \sin x\right) \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \left\{-(\cos 3x) \cdot \frac{1}{3} - \cos x\right\} + C \\ \displaystyle = -\frac{1}{6} \cos 3x - \frac{1}{2} \cos x + C \\[8px] \displaystyle \int \cos 2x \cos x \,dx \\ \displaystyle = \int \big\{\cos (2x + x) + \cos(2x - x)\big\} \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \int \left(\cos 3x + \cos x\right) \,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \left\{(\sin 3x) \cdot \frac{1}{3} + \sin x\right\} + C \\ \displaystyle = \frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{2} \sin x + C \\[8px] \displaystyle \int \sin 2x \sin x \,dx \\ \displaystyle = -\int \frac{1}{2} \big\{\cos (2x + x) - \cos (2x - x)\big\} \,dx \\ \displaystyle = -\frac{1}{2} \int \left(\cos 3x - \cos x\right) \,dx \\ \displaystyle = -\frac{1}{2} \left\{(\sin x) \cdot \frac{1}{3} + \cos x\right\} + C \\ \displaystyle = -\frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{2} \sin x + C \end{array}\]

置換積分の利用

例題2の \(\displaystyle \int \sin 2x \cos x \,dx\) は「積→和 の公式」を用いる以外の方法でも求めることができます。\[\int \sin 2x \cos x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int 2 \sin x \cos x \cdot \cos x \,dx \\ \displaystyle = 2 \int \sin x \cos^2 x \,dx \end{array}\]となりますから,置換積分を使うことができます。

\(u = \cos x\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = -\sin x \quad \mbox{∴} \quad \sin x \,dx = -du\)\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle \int \sin 2x \cos x \,dx \\ \displaystyle = 2\int \cos^2 x (\sin x \,dx) \\ \displaystyle = -2\int u^2 \,du \\ \displaystyle = -2 \cdot \frac{1}{3} u^3 + C \\ \displaystyle = - \frac{2}{3} \cos^3 x + C \end{array}\]

例題3

置換積分を用いて \(\displaystyle \int \cos^3 x \,dx\) を求めましょう。

解 答

\(u = \sin x\) とおくと \(\displaystyle \frac{du}{dx} = \cos x \quad \mbox{∴} \quad \cos x \,dx = du\)\[\int \cos^3 x \,dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \cos^2 x \cdot \cos x \,dx \\ \displaystyle = \int (1 - \sin^2 x) \cdot \cos x \,dx \\ \displaystyle = \int (1 - u^2) \,du \\ \displaystyle = u - \frac{1}{3} u^3 + C \\ \displaystyle = \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C \end{array}\]

\(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) による置換積分

これまでの方法で積分できない関数について,\(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) と置き換えることで積分ができる場合があります。

\(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) とおくと,2倍角の公式から\[\begin{array}[t]{rl} & \displaystyle 1 + \tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{\displaystyle \cos^2 \frac{x}{2}} \\ \mbox{∴} & \displaystyle \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{1 + t^2} \\ \mbox{∴} & \cos x \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1 \\ \displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{1 + t^2} - 1 \\ \displaystyle = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \end{array} \end{array} \quad \begin{array}[t]{rl} & \tan x \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\displaystyle 2\tan \frac{x}{2}}{\displaystyle 1 - \tan^2 \frac{x}{2}} \\ \displaystyle = \frac{2t}{1 - t^2} \end{array} \\ \mbox{∴} & \sin x \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{2t}{1 - t^2} \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ \displaystyle = \frac{2t}{1 + t^2} \end{array} \end{array}\]

さらに,\(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\)\(x\) で微分して\[\begin{array}[t]{rl} & \displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\displaystyle \cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \\ \mbox{∴} & dx \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 2\cos^2 \frac{x}{2} \,dt \\ \displaystyle = \frac{2}{1 + t^2} \,dt \end{array} \end{array}\]

\(\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}\) とおくと\[\begin{array}[t]{l} \displaystyle \sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad \displaystyle dx = \frac{2}{1 + t^2} \,dt \end{array}\]

例題4

上の関係を用いて \(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos x}\) を求めましょう。

解 答

\(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos x} \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} \,dt \\ \displaystyle = \int \frac{2}{(1 - t)(1 + t)} \,dt \\ \displaystyle = \int \left(\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t}\right) \,dt \\ \displaystyle = -\log |1 - t| + \log |1 + t| + C \\ \displaystyle = \log \, \left|\frac{1 + t}{1 - t}\right| + C \\ \displaystyle = \log \, \left|\frac{\displaystyle 1 + \tan \frac{x}{2}}{\displaystyle 1 - \tan \frac{x}{2}}\right| + C \end{array}\)

問題演習

課題1 次の不定積分を求めましょう

  1. \(\displaystyle \int \cos^2 x \,dx\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \int (\sin x + \cos x)^2 \,dx\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \int \sin^3 x \,dx\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle \int \cos^5 x \,dx\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle \int \sin mx \cos nx \,dx \hspace{0.5em} (m \ne n)\) 解答 隠す
  6. \(\displaystyle \int \frac{1}{\sin x} \,dx\) 解答 隠す
  7. \(\displaystyle \int \frac{1}{1 - \cos x} \,dx\) 解答 隠す
  8. \(\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} \,dx\) 解答 隠す
最終更新日時: 2021年 03月 5日(金曜日) 17:08