テキスト（２次方程式の解と複素数の計算）
本時の目標
- ２次方程式について解を求めることができる。
- 判別式を用いて，２次方程式の解を判別することができる。
- 虚数単位 \(i\) が \(i^2 = -1\) で定義される数であることを理解し，複素数の四則演算を計算することができる。
２次方程式の解
課題１
次の２次方程式の解を求めましょう。
GeoGebra で方程式の解を求めることもできます。
Solve
- 書式：Solve(方程式〔，変数〕)
- 命令：方程式の解を求める。
- 例１：\(\mbox{Solve}(x^2 = 4x)\)
- 出力：\(\{x = 4,\ x = 0\}\)
- 例２：\(\mbox{Solve}(\{x = 4x + y,\ y + x = 2\},\ \{x,\ y\})\)
- 出力：\(\{\{x = -1,\ y = 3\}\}\)
ただし，スマホ版の Graphing Calculator はグラフを描くということを目的としているので，実数の解しか求めてくれません。例えば，課題１ の４番を解こうとすると「｛ ｝」つまり空集合を返します。
Desk Top 版であれば，CAS ビューで「CSolve」コマンドを使って虚数解を求めることができます。
また，グラフィックスビューでは未知変数として使える文字が \(x\)，\(y\)，\(z\) のみです。それに対して，CAS ビューでは「\(\mbox{Solve}(ax + 1 = 0,\ a)\)」のように変数を明示することで，その他の文字について解くこともできます。この例では，方程式 \(ax + 1 = 0\) を \(a\) について解きます。
課題１ の５番のように係数が大きい場合には，GeoGebra を使うのも有効です。
２次方程式の解の公式
２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解は
\[\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
で与えられる。
２次方程式の解の判別
また，２次関数の解の公式から \(D = b^2 - 4ac\) の符号により，解は次のように分類されることが分かります。
２次方程式の解の判別
\(x\) の２次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\ \cdots\ (♪)\) について，\(D = b^2 - 4ac\) とすると
| \(D > 0\ \) | のとき， | \((♪)\) は相異なる２つの実数解をもつ。 |
| \(D = 0\ \) | のとき， | \((♪)\) は重解（実数解）をもつ。 |
| \(D < 0\ \) | のとき， | \((♪)\) は相異なる２つの虚数解をもつ。 |
\(D = b^2 - 4ac\) を２次方程式 \((♪)\) の 判別式 といいます。
課題２
次の２次方程式の解が，「相異なる２つの実数解」「重解（実数）」「相異なる２つの虚数解」のいずれであるかを判別しましょう。
例題１
次の問いに答えましょう。
- \(k\) を実数の定数とします。\(x\) の２次方程式\[x^2 + 2x + k = 0\]の解を判別しましょう。
- \(k\) を実数の定数とします。\(x\) の２次方程式\[2x^2 - x + 2k - 1 = 0\]が異なる２つの実数解をもつように，定数 \(k\) の値の範囲を定めましょう。
例題1-1 解答
判別式を考えます。
\[D = 2^2 - 4k = 4(1 - k)\]
| (1) \(D > 0 \) のとき\(\quad\) | \(1 - k > 0\) |
| ∴ \(k < 1\) | |
| (2) \(D = 0\) のとき\(\quad\) | \(1 - k = 0\) |
| ∴ \(k = 1\) | |
| (3) \(D < 0\) のとき\(\quad\) | \(1 - k < 0\) |
| ∴ \(k > 1\) | |
これより，２次方程式 \(x^2 + 2x + k = 0\) の解は次のように判別されます。
| \(k < 1\) のとき\(\quad\) | 相異なる２つの実数解をもつ |
| \(k = 1\) のとき\(\quad\) | 実数の重解をもつ |
| \(k > 1\) のとき\(\quad\) | 相異なる２つの虚数解をもつ |
例題1-2 解答
1-1 と同様に，判別式を考えます。
相異なる２つの実数解をもつ ⇔ \(D > 0\)
| \(D \begin{array}[t]{l} = (-1)^2 - 4\cdot 2\cdot(2k - 1) \\ = 9 - 16k > 0 \end{array}\) |
| ∴ \(\displaystyle k < \frac{9}{16}\) |
課題３
次の問いに答えましょう。
虚数単位 \(i\) と複素数の計算
実数を特徴づけるものとして，次の性質がありました。
実数 \(x\) について \(x^2 \geqq 0\) が成り立つ。
実数の２乗が負になることはない，ということです。したがって，\(x\) の２次方程式
\(x^2 + 1 = 0\)
について，左辺は \(0\) 以上のものに正の数を加えているので，左辺の値が \(0\) になることはなく，実数の中に解は存在しませんでした。このような方程式を解くために，虚数を考えることにしました。
複素数・虚数
\(a\)，\(b\) を実数，\(i^2 = -1\) とするとき，\(a + bi\) の形で書ける数を複素数という。
\(b = 0\) であるとき，この数を実数といい，\(b \ne 0\) であるとき，この数を虚数という。
また，複素数 \(z = a + bi\) について，\(a\) を \(z\) の 実部 といい，\(b\) を \(z\) の 虚部 という。
虚数を考えることにより，すべての２次方程式が解をもち，私たちはその解を求めることができるようになりました。
さて，上の説明のとおり，実数の集合に虚数の集合を加えた数の集合を複素数と呼びますが，ここからは，複素数の計算について復習しましょう。
複素数の加法・減法
まず，足し算と引き算です。次のように，実部同士，虚部同士の足し算・引き算をします。
\[\begin{array}{l} (a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \\ (a_1 + b_1i) - (a_2 + b_2i) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \end{array}\]
例題２－１
| 1. \(\begin{array}[t]{l}(2 + 3i) + (-1 - 2i) \\ = (2 - 1) + (3 - 2)i \\ = 1 + i \end{array} \) |
| 2. \(\begin{array}[t]{l}(3 - i) - (5 + 2i) \\ = (3 - 5) + (-1 - 2)i \\ = -2 - 3i \end{array}\) |
複素数の乗法
続いて，掛け算です。\(i\) を文字のように扱って，\(i\) の多項式として計算し，\(i^2\) が現れる度に \(i^2 = -1\) を使って書き換えます。
例題２－２
\[\begin{array}[t]{l} (1 + i)\times(1 - 3i) \\ = 1 - 3i + i - 3i^2 \\ = 1 - 3i + i -3 \times (-1) \\ = 4 - 2i \end{array}\]
複素数の除法
\((a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2\) を用いて，除数（分母）から \(i\) を取り除きます。
例題２－３
\[\begin{array}{l} (2 - i) \div (1 + 2i) \\ \displaystyle = \frac{2 - i}{1 + 2i} \\ \displaystyle = \frac{(2 - i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} \\ \displaystyle = \frac{2 - 5i + 2i^2}{1 - 4i^2} \\ \displaystyle = \frac{-5i}{5} \\ = -i \end{array}\]
\(\mbox{GeoGebra}\) による複素数の計算
\(\mbox{GeoGebra}\) では，\(\mbox{CAS}\) ビューに式を入力すると，下の図のように複素数を簡単にしてくれます。１つだけ覚えておいてください。虚数単位の「\(i\)」は ALT + i で入力します。
課題４
次の複素数の計算をしましょう。
- \(\displaystyle (2 + 3i) + (5 - 4i)\) 解答 隠す
- \(\displaystyle (-4 + 5i) - (3 - 2i)\) 解答 隠す
- \(\displaystyle (2 + 3i)(3 + 2i)\) 解答 隠す
- \(\displaystyle (3 - 2i)(-2 + i)\) 解答 隠す
- \(\displaystyle (\sqrt{5} - 2i)^2\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \frac{i}{2 - 3i}\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \frac{2 - i}{2 + i}\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \frac{3 + 2i}{1 - 2i}\) 解答 隠す
発展問題
課題５
\(x\)，\(y\) を実数の定数とします。次の等式を満たすように，\(x\) と \(y\) の値を定めましょう。
課題６
次の方程式を解きましょう。