定積分と面積の関係
定積分の定義（リーマン和の極限）から，次の関係が成り立つことが分かります。
- \(a \leqq x \leqq b\) において，\(f(x) \geqq 0\) が成り立つとき
\(a \leqq x \leqq b\) の区間で，関数 \(y = f(x)\) のグラフと \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積 \(S\) は\[S = \int_a^b f(x)\,dx\]
- \(a \leqq x \leqq b\) において，\(f(x) \leqq 0\) が成り立つとき
\(a \leqq x \leqq b\) の区間で，関数 \(y = f(x)\) のグラフと \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積 \(S\) は\[S = -\int_a^b f(x)\,dx\]
- \(a \leqq x \leqq b\) において，\(f(x) \geqq g(x)\) が成り立つとき
\(a \leqq x \leqq b\) の区間で，関数 \(y = f(x)\) と \(y = g(x)\) のグラフとで囲まれた部分の面積は \(S\) \[S = \int_a^b \left\{f(x) - g(x)\right\}\,dx\]
課題１
\(y = x\) と \(y = \sqrt{x}\) とで囲まれた部分の面積 \(S\) を求めましょう。 解答 隠す
まず，２つの関数のグラフをの交点を求めます。２つの式を連立して\[\begin{array}{l} x = \sqrt{x} \\
x^2 = x \\ x^2 - x = 0 \\ x(x - 1) = 0 \\ \mbox{∴}\quad x = 0,\ 1 \end{array}\]よって，求める面積 \(S\) は\[S \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^1 \left(\sqrt{x} - x\right)\,dx \\ = \displaystyle \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2
\right]_0^1\,dx \\ \displaystyle = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \\ \displaystyle = \frac{1}{6} \end{array}\]
課題２
関数 \(y = \sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)\) のグラフと \(x\) 軸とで囲まれる部分の面積を求めましょう。 解答 隠す
\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{\pi} \sin x \,dx \\
\displaystyle = \Big[-\cos x \Big]_0^{\pi} \\ \displaystyle = -1\cdot(-1) - (-1)\cdot 1 \\ = 2 \end{array}\]
課題３
関数 \(y = e^x\) のグラフの点 \(\left(1\mbox{，}e\right)\) における接線の方程式は \(y = ex\) です。関数 \(y = e^x\) のグラフと接線 \(y = ex\) と \(y\) 軸とで囲まれる部分の面積を求めましょう。 解答 隠す
\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^1 \left(e^x - ex\right)\,dx
\\ \displaystyle = \Big[e^x - \frac{1}{2}ex^2\Big]_0^1 \\ \displaystyle = \frac{1}{2}e - 1 \end{array}\]
課題４
関数 \(y = \log x\) のグラフ，直線 \(x = e\) 及び \(x\) 軸とで囲まれる部分の面積を求めましょう。 解答 隠す
\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_1^e \log x \,dx \\ \displaystyle
= \int_1^e (x)'\cdot \log x \,dx \\ \displaystyle = \Big[\,x\log x\,\Big]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ \displaystyle = (e \cdot \log e - 1 \cdot \log 1) - \int_1^e 1\,dx \\ \displaystyle = e - \Big[\,x\,\Big]_1^e \\ \displaystyle
= e - (e - 1) \\ = 1 \end{array}\]
パラメータ表示された図形の面積
例題１
次の式は，サイクロイドという図形を表します。\[\left\{ \begin{array}{l} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{array}\right.\quad(0 \leqq t \leqq 2\pi)\]サイクロイドは，円が直線上を転がる（回転する）ときの，円周上の固定された点の軌跡です。
この図形と \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積を求めましょう。
解 答
考え方は，前の課題と同じです。求める面積 \(S\) は\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{2\pi} y\,dx \\ \displaystyle = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)\,dx \end{array}\]問題は \(x\) で積分しなければならないところ，被積分関数が \(t\) の関数になっているということです。そこで\[x = t - \sin t\]を使って，積分変数を \(t\)
に変換します。\[\begin{array}[t]{l}\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1 - \cos t \\ \> dx = (1 - \cos t)\,dt \end{array}\quad\begin{array}[t]{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & 2\pi \\ \hline t & 0 & \rightarrow & 2\pi \end{array}\]したがって，\(S\)
を求める積分は次のようになります。\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \,dt \\ \displaystyle = \int_0^{2\pi} (1 -2\cos t + \cos^2 t)\,dt \\ \displaystyle = \int_0^{2\pi} \left(1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}\right)\,dt \\
\displaystyle = \left[t - 2\sin t + \frac{2t + \sin 2t}{4}\right]_0^{2\pi} \\ \displaystyle = \left(2\pi - 0 + \frac{2\pi + 0}{2}\right) - \left(0 - 0 + \frac{0 + 0}{2}\right) \\ \displaystyle = 3\pi \end{array}\]
課題５
\[\left\{\begin{array}{l} x = 2\cos t \\ y = \sin t \end{array}\right.\quad(0 \leqq t \leqq 2\pi)\]は，下図のような楕円を表します。この楕円で囲まれた部分の面積を求めましょう。
ヒント：第１象限（下図の赤い斜線部）の面積を求め，４倍しましょう。）
解答 隠す
求める図形の面積を \(S\) とすると\[\displaystyle \frac{S}{4}\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{2} y\,dx \\ \displaystyle = \int_0^{2} \sin t\,dx \end{array}\]\(x = 2\cos t\) を用いて，積分変数を \(t\) に換えると\[\begin{array}{l}\displaystyle \frac{dx}{dt} = -2\sin
t \\ \> dx = -2\sin t\,dt \end{array}\quad \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & 2 \\ \hline t & \frac{\pi}{2} & \rightarrow & 0 \end{array}\]\[\displaystyle\frac{S}{4} \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}
(-2\sin^2 t)\,dt \\ \displaystyle = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t\,dt \\ \displaystyle = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,dt \\ \displaystyle = \Big[t - \frac{1}{2}\sin 2t\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \displaystyle = \frac{\pi}{2}
\end{array}\]\[\mbox{∴}\quad S = 2\pi\]
課題６
\[\left\{\begin{array}{l} x = \cos^4 t \\ y = \sin^4 t \end{array}\right.\quad \left(0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}\right)\]は，下図の青色の曲線を表します。この曲線と \(x\) 軸及び \(y\) 軸とで囲まれた部分の面積を求めましょう。
解答 隠す
求める面積を \(S\) とおきます。\[\begin{array}{l} x = \cos^4 t \\ \displaystyle \frac{dx}{dt} = 4\cos^3 t (-\sin t) \\ \mbox{∴}\hspace{0.5em} dx = -4\cos^3 t \sin t \,dt \end{array} \quad \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & 1 \\ \hline t &
\frac{\pi}{2} & \to & 0 \end{array}\]\[S \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^1 \sin^4 t \,dx \\ \displaystyle = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sin^4 t \cdot (-4\cos^3 t \sin t) \,dt \\ \displaystyle = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5
t \cos^3 t \,dt \\ \displaystyle = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 t \cos^2 t \cos t \,dt \\ \displaystyle = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 t (1 - \sin^2 t )\cos t\, dt \\ \displaystyle = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin^5 t - \sin^7 t\right)
\cos t \,dt \end{array}\]ここで，\(\sin t = u\) とおいて再び置換積分をします。\[\begin{array}{l} \displaystyle \cos t = \frac{du}{dt} \\ \cos t \,dt = du \end{array} \quad \begin{array}{c|ccc} t & 0 & \to & \frac{\pi}{2} \\ \hline u & 0 &
\to & 1 \end{array}\]\[S \begin{array}[t]{l} \displaystyle = 4 \int_0^1 \left(u^5 - u^7\right)\,du \\ \displaystyle = 4\left[\frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{8}\right]_0^1 \\ \displaystyle = 4\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{8}\right) \\ \displaystyle
= \frac{1}{6} \end{array}\]