24 面積

本時の目標

  1. 定積分の定義から,関数のグラフで囲まれた部分の面積を求められることを確認する。
  2. 有理関数,無理関数,三角関数,指数関数,対数関数について,それらのグラフで囲まれる部分の面積を求めることができる。
  3. パラメータ表示された関数について,そのグラフで囲まれた部分の面積を求めることができる。

定積分と面積の関係

定積分の定義(リーマン和の極限)から,次の関係が成り立つことが分かります。

  1. \(a \leqq x \leqq b\) において,\(f(x) \geqq 0\) が成り立つとき
  2. \(a \leqq x \leqq b\) の区間で,関数 \(y = f(x)\) のグラフと \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積 \(S\)\[S = \int_a^b f(x)\,dx\]
  3. \(a \leqq x \leqq b\) において,\(f(x) \leqq 0\) が成り立つとき
  4. \(a \leqq x \leqq b\) の区間で,関数 \(y = f(x)\) のグラフと \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積 \(S\)\[S = -\int_a^b f(x)\,dx\]
  5. \(a \leqq x \leqq b\) において,\(f(x) \geqq g(x)\) が成り立つとき
  6. \(a \leqq x \leqq b\) の区間で,関数 \(y = f(x)\)\(y = g(x)\) のグラフとで囲まれた部分の面積は \(S\) \[S = \int_a^b \left\{f(x) - g(x)\right\}\,dx\]

課題1

\(y = x\)\(y = \sqrt{x}\) とで囲まれた部分の面積 \(S\) を求めましょう。 解答 隠す

課題2

関数 \(y = \sin x\ (0 \leqq x \leqq \pi)\) のグラフと \(x\) 軸とで囲まれる部分の面積を求めましょう。 解答 隠す

課題3

関数 \(y = e^x\) のグラフの点 \(\left(1\mbox{,}e\right)\) における接線の方程式は \(y = ex\) です。関数 \(y = e^x\) のグラフと接線 \(y = ex\)\(y\) 軸とで囲まれる部分の面積を求めましょう。 解答 隠す

課題4

関数 \(y = \log x\) のグラフ,直線 \(x = e\) 及び \(x\) 軸とで囲まれる部分の面積を求めましょう。 解答 隠す

パラメータ表示された図形の面積

例題1

次の式は,サイクロイドという図形を表します。\[\left\{ \begin{array}{l} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{array}\right.\quad(0 \leqq t \leqq 2\pi)\]サイクロイドは,円が直線上を転がる(回転する)ときの,円周上の固定された点の軌跡です。

この図形と \(x\) 軸とで囲まれた部分の面積を求めましょう。

解 答

考え方は,前の課題と同じです。求める面積 \(S\)\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{2\pi} y\,dx \\ \displaystyle = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)\,dx \end{array}\]問題は \(x\) で積分しなければならないところ,被積分関数が \(t\) の関数になっているということです。そこで\[x = t - \sin t\]を使って,積分変数を \(t\) に変換します。\[\begin{array}[t]{l}\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1 - \cos t \\ \> dx = (1 - \cos t)\,dt \end{array}\quad\begin{array}[t]{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & 2\pi \\ \hline t & 0 & \rightarrow & 2\pi \end{array}\]したがって,\(S\) を求める積分は次のようになります。\[S\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \,dt \\ \displaystyle = \int_0^{2\pi} (1 -2\cos t + \cos^2 t)\,dt \\ \displaystyle = \int_0^{2\pi} \left(1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}\right)\,dt \\ \displaystyle = \left[t - 2\sin t + \frac{2t + \sin 2t}{4}\right]_0^{2\pi} \\ \displaystyle = \left(2\pi - 0 + \frac{2\pi + 0}{2}\right) - \left(0 - 0 + \frac{0 + 0}{2}\right) \\ \displaystyle = 3\pi \end{array}\]

課題5

\[\left\{\begin{array}{l} x = 2\cos t \\ y = \sin t \end{array}\right.\quad(0 \leqq t \leqq 2\pi)\]は,下図のような楕円を表します。この楕円で囲まれた部分の面積を求めましょう。ヒント:第1象限(下図の赤い斜線部)の面積を求め,4倍しましょう。)

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課題6

\[\left\{\begin{array}{l} x = \cos^4 t \\ y = \sin^4 t \end{array}\right.\quad \left(0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}\right)\]は,下図の青色の曲線を表します。この曲線と \(x\) 軸及び \(y\) 軸とで囲まれた部分の面積を求めましょう。

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最終更新日時: 2021年 03月 5日(金曜日) 17:09