本時の目標

  1. 2次関数のグラフを用いて2次不等式を解くことができる。
  2. 2次不等式の解を判別式と関連付けて考えることができる。

2次関数のグラフを用いて2不等式を解く

例題1

2次関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフを用いて,2次不等式

\(x^2 - 4x + 3 < 0\)

の解を求めましょう。

まず,2次関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフをノートに描いてください。

描けましたか? 描けたら,下の 入力ボックス に式「x^2 - 4x + 3」を入力してください。\(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフが描かれます。

\(y = \)

勿論,皆さんが描いたグラフと同じになっているはずです。しかし,問題は「皆さんがこのグラフをどのように描いたか?」です。さらに言えば,「グラフを描くために,関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) の式をどのように変形したか?」です。

このことは,不等式 \(x^2 - 4x + 3 < 0\) はどのように解けるか?に関係しています。不等式を解くためには,上のグラフのどこを見れば良いのでしょうか?

2次不等式 \(x^2 - 4x + 3 < 0\) を解くことは,2次関数

\(y = x^2 - 4x + 3\)

の値を負にする \(x\) の範囲を求めるということです。つまり,\(x\) 軸の下側にグラフのある部分を見ることになります。と言うことは,\(x\) 軸との交点の座標が重要になります。したがって,平方完成をするのではなく\(x\) 軸との交点の座標が分かる式 ― 因数分解できれば因数分解した式 ― にします。

\(y \begin{array}[t]{l} = x^2 - 4x + 3 \\ = (x - 1)(x - 3)\end{array}\)

グラフと \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は \(x = 1\)\(x = 3\) だと分かりました。そして,グラフが \(x\) 軸の下側にある部分を見れば,次の解が得られます。

\(1 < x < 3\)

因数分解ができないとき

例題2

2次不等式 \(x^2 - 2x - 1 \geqq 0\) を解きましょう。

\(x^2 - 2x - 1\) は因数分解することができません。しかし,2次関数 \(y = x^2 - 2x - 1\) のグラフを描けば・・・

\(y = \)

グラフが \(x\) 軸と交わり交点の外側で \(x\) 軸の上側にあることは,一目瞭然です。また,交点のうち1つは \(-1\)\(0\) の間にあり,もう1つは \(2\)\(3\) の間にあることも分かります。そこで,交点の正確な座標を知るために,2次方程式

\(x^2 - 2x - 1 = 0\)

を解の公式により解きます。すると

\(x = 1 \pm \sqrt{2}\)

となり,グラフから不等式 \(x^2 - 2x - 1 \geqq 0\) の解を次のように得られます。

\(x \leqq 1 - \sqrt{2},\ 1 + \sqrt{2} \leqq x\)

課題1

それでは,例題1と例題2を合わせた練習として,次の2次不等式を解きましょう。必要に応じて,問題の下にあるグラフ作成アプレットを使ってください。

  1. \(x^2 - x - 6 \leqq 0\) 解答 隠す
  2. \(-x^2 - 2x + 3 < 0\) 解答 隠す
  3. \(x^2 - 3x + 1 \geqq 0\) 解答 隠す
  4. \(-2x^2 + 5x + 1 > 0\) 解答 隠す
  5. \(2x^2 - 6x + 1 \geqq 0\) 解答 隠す

\(y = \)

グラフが \(x\) 軸と2回交わらない場合

ここまでの不等式は,2次関数としてグラフを見たときに,グラフが \(x\) 軸と2つの交点をもつ場合でした。しかし,2次関数のグラフは,\(x\) 軸と常に2つの交点をもつとは限りません。\(x\) 軸と接する場合や交わらない場合もあります。そのようなとき,2次不等式の解はどのようになるでしょうか? 次に,これらの場合を考えてみましょう。

例題3

次の2次不等式を解きましょう。

  1. \(x^2 + x + 1 > 0\)
  2. \(x^2 - 4x + 4 > 0\)

例題3-1 の解答

まず,\(x^2 + x + 1 = 0\) とおいて,この2次方程式を解きましょう。

\(\begin{array}{c} x^2 + x + 1 = 0 \\ \displaystyle \mbox{∴}\quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \end{array}\)

方程式の解は虚数になってしまいました。グラフも描いておきましょう。

\(y = \)

2次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) について \(ax^2 + bx + c = 0\) の解が虚数になるということは,グラフが \(x\) 軸と交わらないということです。

グラフを見れば,実数全体で \(x^2 + x + 1 > 0\) が成り立つことが分かります。したがって,解は 実数全体 となります。

不等式 \(x^2 + x + 1 < 0\) であれば,\(x\) 軸の下側にはグラフがないので,解なし ということになります。

例題3-2 の解答

これも,\(x^2 - 4x + 4 = 0\) とおいて,この2次方程式を解くと

\(\begin{array}{c} (x - 2)^2 = 0 \\ \mbox{∴}\quad x = 2 \end{array}\)

解は重解でした。グラフも描きましょう。

\(y = \)

グラフは \(x\) 軸に接しています。2次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) について \(ax^2 + bx + c = 0\) の解が重解になるということは,グラフが \(x\) 軸に接しているということです。

\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 > 0\)

この不等式の解は,グラフが \(x\) 軸の上側にある ― ただし \(x\) 軸上は含まれない ― ところです。したがって

\(x \ne 2\) または \(x < 2,\ 2 < x\)

のいずれかで答えます。

不等号に気をつけなければなりません。

\(x^2 - 4x + 4 \geqq 0\) ⇒ 実数全体
\(x^2 - 4x + 4 < 0\) ⇒ 解なし
\(x^2 - 4x + 4 \leqq 0\) ⇒ \(x = 2\)

となります。グラフを見て確認しましょう。

課題2

次の2次不等式を解きましょう。この問いについては,グラフをノートに描きましょう。

  1. \(3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 \leqq 0\) 解答 隠す
  2. \(2x^2 + 3x + 2 > 0\) 解答 隠す
  3. \(-x^2 + 5x - 7 > 0\) 解答 隠す
  4. \(4x^2 - 20x + 25 > 0\) 解答 隠す
  5. \(-9x^2 - 12x - 4 > 0\) 解答 隠す

問題演習

課題3

次の2次不等式を解きましょう。

  1. \(x^2 - 2x - 8 < 0\) 解答 隠す
  2. \(x^2 < 9\) 解答 隠す
  3. \(x^2 > 3\) 解答 隠す
  4. \(x^2 - x - 30 > 0\) 解答 隠す
  5. \(x^2 - 2x - 5 < 0\) 解答 隠す
  6. \(-x^2 + 3x + 1 < 0\) 解答 隠す
  7. \(x^2 - 2x + 1 \leqq 0\) 解答 隠す
  8. \(x^2 - x + 1 < 0\) 解答 隠す
  9. \(x^2 - 2x + 3 > 0\) 解答 隠す

発展問題

次の問いに答えましょう。

  1. \(k\) を定数とします。\(x\) の2次関数 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\) のグラフが \(x\) 軸と接するとき \(k\) の値と接点の座標を求めましょう。 解答 隠す
  2. \(k\) を定数とします。\(x\) の2次関数 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\) のグラフが \(x\) 軸と交点をもたないように \(k\) の値を定めましょう。 解答 隠す
  3. \(k\) を定数とします。\(x\) の2次不等式 \(x^2 + 2kx + 4k - 3 \leqq 0\) が解をもたないように \(k\) の値を定めしょう。 解答 隠す
  4. 3次不等式 \(x^3 - 2x^2 - x + 2 \geqq 0\) を解きましょう。グラフは上のアプレット又は GeoGebra を使って描いてください。 解答 隠す
  5. 3次不等式 \(x^3 - 3x + 2 \leqq 0\) を解きましょう。 解答 隠す
Last modified: Tuesday, 9 March 2021, 5:14 PM