テキスト（２次不等式の解）
本時の目標
- ２次関数のグラフを用いて２次不等式を解くことができる。
- ２次不等式の解を判別式と関連付けて考えることができる。
２次関数のグラフを用いて２不等式を解く
例題１
２次関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフを用いて，２次不等式
\(x^2 - 4x + 3 < 0\)
の解を求めましょう。
まず，２次関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフをノートに描いてください。
描けましたか？ 描けたら，下の 入力ボックス に式「x^2 - 4x + 3」を入力してください。\(y = x^2 - 4x + 3\) のグラフが描かれます。
\(y = \)
勿論，皆さんが描いたグラフと同じになっているはずです。しかし，問題は「皆さんがこのグラフをどのように描いたか？」です。さらに言えば，「グラフを描くために，関数 \(y = x^2 - 4x + 3\) の式をどのように変形したか？」です。
このことは，不等式 \(x^2 - 4x + 3 < 0\) はどのように解けるか？に関係しています。不等式を解くためには，上のグラフのどこを見れば良いのでしょうか？
２次不等式 \(x^2 - 4x + 3 < 0\) を解くことは，２次関数
\(y = x^2 - 4x + 3\)
の値を負にする \(x\) の範囲を求めるということです。つまり，\(x\) 軸の下側にグラフのある部分を見ることになります。と言うことは，\(x\) 軸との交点の座標が重要になります。したがって，平方完成をするのではなく，\(x\) 軸との交点の座標が分かる式 ― 因数分解できれば因数分解した式 ― にします。
\(y \begin{array}[t]{l} = x^2 - 4x + 3 \\ = (x - 1)(x - 3)\end{array}\)
グラフと \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は \(x = 1\) と \(x = 3\) だと分かりました。そして，グラフが \(x\) 軸の下側にある部分を見れば，次の解が得られます。
\(1 < x < 3\)
因数分解ができないとき
例題２
２次不等式 \(x^2 - 2x - 1 \geqq 0\) を解きましょう。
\(x^2 - 2x - 1\) は因数分解することができません。しかし，２次関数 \(y = x^2 - 2x - 1\) のグラフを描けば・・・
\(y = \)
グラフが \(x\) 軸と交わり交点の外側で \(x\) 軸の上側にあることは，一目瞭然です。また，交点のうち１つは \(-1\) と \(0\) の間にあり，もう１つは \(2\) と \(3\) の間にあることも分かります。そこで，交点の正確な座標を知るために，２次方程式
\(x^2 - 2x - 1 = 0\)
を解の公式により解きます。すると
\(x = 1 \pm \sqrt{2}\)
となり，グラフから不等式 \(x^2 - 2x - 1 \geqq 0\) の解を次のように得られます。
\(x \leqq 1 - \sqrt{2},\ 1 + \sqrt{2} \leqq x\)
課題１
それでは，例題１と例題２を合わせた練習として，次の２次不等式を解きましょう。必要に応じて，問題の下にあるグラフ作成アプレットを使ってください。
\(y = \)
グラフが \(x\) 軸と２回交わらない場合
ここまでの不等式は，２次関数としてグラフを見たときに，グラフが \(x\) 軸と２つの交点をもつ場合でした。しかし，２次関数のグラフは，\(x\) 軸と常に２つの交点をもつとは限りません。\(x\) 軸と接する場合や交わらない場合もあります。そのようなとき，２次不等式の解はどのようになるでしょうか？ 次に，これらの場合を考えてみましょう。
例題３
次の２次不等式を解きましょう。
- \(x^2 + x + 1 > 0\)
- \(x^2 - 4x + 4 > 0\)
例題３－１ の解答
まず，\(x^2 + x + 1 = 0\) とおいて，この２次方程式を解きましょう。
\(\begin{array}{c} x^2 + x + 1 = 0 \\ \displaystyle \mbox{∴}\quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \end{array}\)
方程式の解は虚数になってしまいました。グラフも描いておきましょう。
\(y = \)
２次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) について \(ax^2 + bx + c = 0\) の解が虚数になるということは，グラフが \(x\) 軸と交わらないということです。
グラフを見れば，実数全体で \(x^2 + x + 1 > 0\) が成り立つことが分かります。したがって，解は 実数全体 となります。
不等式 \(x^2 + x + 1 < 0\) であれば，\(x\) 軸の下側にはグラフがないので，解なし ということになります。
例題３－２ の解答
これも，\(x^2 - 4x + 4 = 0\) とおいて，この２次方程式を解くと
\(\begin{array}{c} (x - 2)^2 = 0 \\ \mbox{∴}\quad x = 2 \end{array}\)
解は重解でした。グラフも描きましょう。
\(y = \)
グラフは \(x\) 軸に接しています。２次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) について \(ax^2 + bx + c = 0\) の解が重解になるということは，グラフが \(x\) 軸に接しているということです。
\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 > 0\)
この不等式の解は，グラフが \(x\) 軸の上側にある ― ただし \(x\) 軸上は含まれない ― ところです。したがって
\(x \ne 2\) または \(x < 2,\ 2 < x\)
のいずれかで答えます。
不等号に気をつけなければなりません。
| \(x^2 - 4x + 4 \geqq 0\) ⇒ 実数全体 |
| \(x^2 - 4x + 4 < 0\) ⇒ 解なし |
| \(x^2 - 4x + 4 \leqq 0\) ⇒ \(x = 2\) |
となります。グラフを見て確認しましょう。
課題２
次の２次不等式を解きましょう。この問いについては，グラフをノートに描きましょう。
問題演習
課題３
次の２次不等式を解きましょう。
発展問題
次の問いに答えましょう。
- \(k\) を定数とします。\(x\) の２次関数 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\) のグラフが \(x\) 軸と接するとき \(k\) の値と接点の座標を求めましょう。 解答 隠す
- \(k\) を定数とします。\(x\) の２次関数 \(y = x^2 - 2kx + k + 2\) のグラフが \(x\) 軸と交点をもたないように \(k\) の値を定めましょう。 解答 隠す
- \(k\) を定数とします。\(x\) の２次不等式 \(x^2 + 2kx + 4k - 3 \leqq 0\) が解をもたないように \(k\) の値を定めしょう。 解答 隠す
- ３次不等式 \(x^3 - 2x^2 - x + 2 \geqq 0\) を解きましょう。グラフは上のアプレット又は GeoGebra を使って描いてください。 解答 隠す
- ３次不等式 \(x^3 - 3x + 2 \leqq 0\) を解きましょう。 解答 隠す