鋭角の三角比の定義
下の図は,1組の三角定規を表しています。それぞれは,共に直角三角形で各辺の比が決まっていました。
それでは,それぞれの直角三角形をノートに描き,さらに,辺の比を書き込みましょう。
書き込んだ値は,辺の比ですから,三角形の大きさには影響されません。
下の図のように,直角三角形 \(\mbox{AHB}\)を \(\angle\mbox{A}\) が右に,直角(\(\angle\mbox{H}\))が右下に来るようにおきます。
三角形に対して,一般的に各頂点の向かいの辺の長さを,頂点を表す文字の小文字を使って表します。
この場合,\(h = \mbox{AB}\),\(a = \mbox{BH}\),\(b = \mbox{AH}\) となります。
このとき,\(\angle\mbox{A}\) に対して
辺 \(\mbox{AB}\) を 斜辺 |
辺 \(\mbox{AH}\) を 底辺(または隣辺) |
辺 \(\mbox{BH}\) を 対辺 |
といいます。そして,\(\angle\mbox{A}\) の大きさによってそれぞれの辺の比の値が決まります。3つの辺の比 \(\displaystyle \frac{a}{h}\),\(\displaystyle \frac{b}{h}\),\(\displaystyle \frac{a}{b}\) にはそれぞれ名前がついていて「\(\angle\mbox{A}\) の正弦」「\(\angle\mbox{A}\) の余弦」「\(\angle\mbox{A}\)
の
正接」といい,\(\sin A\),\(\cos A\),\(\tan A\) と書き表し,これらをまとめて三角比(または三角関数)とよびます。つまり
鋭角の三角比(三角関数)の定義
\(\angle{H} = \angle{R}\) の直角三角形 \(\triangle\mbox{AHB}\) について,\(\sin A\),\(\cos A\),\(\tan A\) を次のように定義します。
\(\displaystyle \sin A = \frac{a}{h},\ \cos A = \frac{b}{h},\ \tan A = \frac{a}{b}\)
\(30°\),\(45°\),\(60°\) の三角関数
三角定規の2組の直角三角形には,直角の他に \(30°\),\(45°\),\(60°\) という角があります。しかも,辺の比が分かっていますから,\(30°\),\(45°\),\(60°\) の3つの角については,三角関数の値を簡単に求めることができます。
課題1
下の図を使って,次の三角比の値を求めましょう。
\(\sin 30°\quad\) |
\(\cos 30°\quad\) |
\(\tan 30°\) |
\(\sin 45°\quad\) |
\(\cos 45°\quad\) |
\(\tan 45°\) |
\(\sin 60°\quad\) |
\(\cos 60°\quad\) |
\(\tan 60°\) |
\(30°\),\(45°\),\(60°\) の三角比をスラスラ言えるように,少し時間をとって覚えてしまいましょう。
覚えたら,周囲の人と覚えられたかどうかを相互に確認し合いましょう。
課題2
次の三角形について,\(x\) と \(y\) の値を求めましょう。
1.
\[\begin{eqnarray} && \frac{x}{\sqrt{3}} = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\quad ∴\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3} = \frac{3}{2} \\[2px] && \frac{y}{\sqrt{3}} = \sin 30° = \frac{1}{2}\quad ∴\quad y = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}
= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}\]
2.
\[\begin{eqnarray} && \frac{3}{x} = \tan{20°}\quad ∴\quad x = \frac{3}{\tan{20°}} \sim 8.23 \\[2px] && \frac{3}{y} = \sin{20°}\quad ∴\quad y = \frac{3}{\sin{20°}} \sim 8.77 \end{eqnarray}\]
\(0° \leqq \theta \leqq 360°\) への三角関数の拡張
次に,\(0° \leqq \theta \leqq 360°\) にまで三角関数の定義を拡張しますが,鋭角のように直角三角形を作ることができません。そこで,次のように考えます。
\(\mbox{B}(b,\ a)\)
\(h\)
\(-h\)
\(h\)
\(\mbox{A}\)
\(\mbox{H}\)
\(b\)
\(a\)
\(h\)
\(\theta\)
上の図は,\(\triangle\mbox{AHB}\) の頂点 \(\mbox{A}\) を原点において,原点を中心として頂点 \(\mbox{B}\) を通る円を描いたものです。
このとき,点 \(\mbox{B}\) の座標は,辺 \(\mbox{BH}\) の長さ \(a\),辺 \(\mbox{BH}\) の長さ \(b\) を用いて \((b,\ a)\) となっています。
\(\displaystyle \sin A = \frac{a}{h}\) でしたから,これは
\(\sin A =\ \) |
頂点 \(\mbox{B}\) の \(y\) 座標 |
円の半径 |
となり,\(\cos A\) と \(\tan A\) も同様に考えれば
\(\cos A =\ \) |
頂点 \(\mbox{B}\) の \(x\) 座標 |
円の半径 |
\(\tan A =\ \) |
頂点 \(\mbox{B}\) の \(y\) 座標 |
頂点 \(\mbox{B}\) の \(x\) 座標 |
となっています。
以上のようにして,\(0°\),\(90°\)などの角を含め,\(0° \leqq \theta \leqq 360°\) の全ての角について,三角関数の値をを考えられるように,三角関数を定義しなおします。
下に,三角関数の定義に関する説明用スライドがありますので,見ながら三角関数の定義を覚えましょう。
下の FWD ボタンをクリックして,説明を見ましょう。
原点を中心とする半径 \(r\) の円があり,動点 \(\mbox{P}\) が円周上を動いています。
半径 \(\mbox{OP}\) は動点 \(\mbox{P}\) の動きにしたがって動くので 動径 といいます。
点 \((r,\ 0)\) を \(\mbox{A}\) とし,\(\angle\mbox{AOP} = \theta\) となったときを考えます。
そのときの点 \(\mbox{P}\) の座標が \((x_0,\ y_0)\) であったとします。
\(\mbox{P}\)
\(\theta\)
\(r\)
\(\theta\) の三角比を次のように定義します。
\(\displaystyle \sin\theta = \frac{y_0}{r} \quad \cos\theta = \frac{x_0}{r} \quad \tan\theta = \frac{y_0}{x_0}\)
\(\mbox{P}(x_0,\ y_0)\)
\(\theta\)
\(r\)
\(\displaystyle \sin\theta = \frac{y_0}{r} \quad \cos\theta = \frac{x_0}{r} \quad \tan\theta = \frac{y_0}{x_0}\)
この定義が鋭角に対してこれまでの定義と変わりないことは,先の説明で分かります。
\(\mbox{P}(x_0,\ y_0)\)
\(\theta\)
\(r\)
次に,この定義にしたがって \(120°\) の三角比を求めてみましょう。
\(120^{\circ}\)
点 \(\mbox{P}\) から \(x\) 軸に垂線を下し,その足を点 \(\mbox{H}\) とします。すると,\(\triangle\mbox{OPH}\) の辺の比は,図のようになります。
\(\sqrt{3}\)
\(120^{\circ}\)
したがって,上の図で
円の半径は \(2\)
点 \(\mbox{P}\) の座標は \((-1,\ \sqrt{3})\)
であると見ることができます。
\(\sqrt{3}\)
\(120^{\circ}\)
\(\mbox{P}(-1,\ \sqrt{3})\)
\(\mbox{∴}\quad\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \displaystyle \cos 120° = -\frac{1}{2} \\ \displaystyle \tan 120° = -\sqrt{3} \end{array}\right.\)
\(\sqrt{3}\)
\(120^{\circ}\)
\(\mbox{P}(-1,\ \sqrt{3})\)
三角比の定義
\(\displaystyle \sin\theta = \frac{y_0}{r} \quad \cos\theta = \frac{x_0}{r} \quad \tan\theta = \frac{y_0}{x_0}\)
理解できたら次に進みましょう。
\(\mbox{P}(x_0,\ y_0)\)
\(\theta\)
\(r\)
課題3
次の角の三角関数の値をを求めましょう。問いの下の図は,角度を入力するとその角度の動径を表示しますので,必要に応じて利用してください。
- \(0°\)
- \(90°\)
- \(135°\)
- \(150°\)
- \(180°\)
- \(210°\)
- \(225°\)
- \(300°\)
角度
問題演習
課題4と課題5は,いずれも関数電卓や GeoGebra を用いて計算しましょう。
課題4
傾斜が \(10°\) の坂道を \(2000\mbox{m}\) 進んだとき
- 鉛直方向にどれだけ上ったでしょうか。 解答 隠す
\[\frac{h}{2000} = \sin{10°}\quad ∴\quad h = 2000\cdot\sin{10°}\sim 347.3\]
- 水平方向にどれだけ進んだでしょうか。 解答 隠す
\[\frac{h}{2000} = \cos{10°}\quad ∴\quad h = 2000\cdot\cos{10°}\sim 1969.6\]
課題5
半径 \(10\) の円に内接する正五角形の1辺の長さと面積を求めましょう。小数第2位まで求めてください。 解答 隠す
正五角形の1辺の長さを \(2l\) とすると \[\frac{l}{10} = \cos{54°}\quad ∴\quad 2l = 2\cdot{10}\cos{54°} = 11.76\]
また,面積\(\displaystyle = \frac{1}{2}\times\big(2\cdot{10}\cdot\cos{54°}\big)\times\big({10}\cdot\sin{54°}\big)\times 5 = 237.76\)
課題6
次の式を満たす \(\theta\) の角度を求めてください。ただし,\(0° \leqq \theta \leqq 360°\) とします。
- \(\displaystyle \sin\theta = \frac{1}{2}\) 解答 隠す
\(x\)
\(y\)
\(\displaystyle y = \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \theta = 30°,\ 150°\)
\(\displaystyle \left(\theta = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}\right)\)
- \(\displaystyle \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 解答 隠す
\(x\)
\(y\)
\(\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\displaystyle \theta = 45°,\ 315°\)
\(\displaystyle \left(\theta = \frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}\right)\)
- \(\displaystyle \tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) 解答 隠す
\(x\)
\(y\)
\(\displaystyle y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x \quad \Big[\) 傾き\(\displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{3}}\ \Big]\)
\(\displaystyle \theta = 150°,\ 330°\)
\(\displaystyle \left(\theta = \frac{5\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\right)\)
- \(\displaystyle \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 解答 隠す
\(x\)
\(y\)
\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \theta = 60°,\ 120°\)
\(\displaystyle \left(\theta = \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}\right)\)
- \(\displaystyle \cos\theta = 0\) 解答 隠す
\(x\)
\(y\)
\(\displaystyle x = 0\)
\(\displaystyle \theta = 90°,\ 270°\)
\(\displaystyle \left(\theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}\right)\)
- \(\displaystyle \tan\theta = 1\) 解答 隠す
\(x\)
\(y\)
\(\displaystyle y = x\)
\(\displaystyle \theta = 45°,\ 225°\)
\(\displaystyle \left(\theta = \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}\right)\)