テキスト（弧度法・一般角・三角関数の相互関係）

弧度法

前時は，角の大きさを表す単位として，直角の 1/90 を \(1°\) とするものを用いましたが，ここからは ラジアン という単位を用います。

これは，円周上の弧の長さが円の半径と等しくなるときの中心角を \(1\) とするものです。

下の図に描かれているのは，半径が \(r\) の円です。そして，緑色で描かれた角は，弧の長さが丁度半径と同じになるときの中心角です。この角が \(1\) ラジアン です。角度で言うと約 \(57.3°\) になります。また，ラジアン という単位は通常省略します。

半径が \(1\) の円（単位円といいます）では，弧の長さがそのまま角の大きさになります。この円の円周は「直径\(\times\pi\)」で \(2\pi\) です。

したがって，半周は \(\pi\) となり，次のことが言えます。

このことを押さえておけば，\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)，\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) などがどのような角になるかは，それぞれ 半円周の \(\displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，\(\displaystyle \frac{1}{4}\) と考えれば分かります。\(90°\)，\(60°\)，\(45°\) のように角度に換算するのではなく，弧度法のままでどこの角かが分かるようにしましょう。

課題１

Next ボタンをクリックすると，角度がランダムに表示されるので，表示された角度をラジアンに直しましょう。約２秒後に答えが表示されます。その前に答えてください。下のラジオボタンで「ラジアン→度」を選択すると弧度法で表された角を度に直す練習ができます。

一般角

下の図の角 \(\theta\) の大きさは？　という問いに対して，これまでは \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) と答えていました。

ここで，角の大きさを動径の回転量で表す一般角という考え方を取り入れます。

\(x\) 軸の正の部分を始線といい，ここから動径 \(\mbox{OP}\) がどれだけ回転したかで角の大きさを表します。緑色の矢印で示したように反時計回りに \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) だけ回転しても，赤色の矢印で示したように時計回りに \(\displaystyle \frac{7\pi}{4}\) だけ回転しても，動径の最終的な位置は同じです。

ところが，一般角という考え方では，この２つは異なる角として扱い，緑色の回転の場合を \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) と表し，赤色の回転の場合を \(\displaystyle -\frac{7\pi}{4}\) と表します。さらに，反時計回りに１周した後に \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) だけ回転した場合にも同じ動径となり，このときの角の大きさは \(\displaystyle \frac{9\pi}{4}\) と表します。この例から分かるように，回転の向きは反時計回りが正，時計回りが負です。

また，上の図で動径 \(\mbox{OP}\) の表す角は

\(\begin{array}{l} \displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} + 2n\pi \\ (n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2, \ \pm 3,\ \cdots\ ) \end{array}\)

と書くことができます。上の図で赤色の回転を表す角 \(\displaystyle -\frac{7\pi}{4}\) は，\(n = -1\) の場合です。

一般角の導入により，変数の変域を \(0 \leqq \theta \leqq 2\pi\) に限定することなく，すべての実数値について \(\sin \theta\)，\(\cos \theta\)， \(\tan \theta\) を考えることができるようになります。

課題２

次の角をノートに図示しましょう。

\(\begin{array}{lll} 1.\ 420° & \quad 2.\ -30° & \quad 3.\ -135° \\ 4.\ 3\pi & \quad 5.\ \displaystyle -\frac{2\pi}{3} & \quad 6.\ \displaystyle -\frac{9\pi}{4} \end{array}\)

三角関数の相互関係

三角関数の定義を，もう一度，確認しておきましょう。

ところで，上の図に三平方の定理を用いると，\(x_0^2 + y_0^2 = r^2\) の成り立つことが分かります。この式の両辺を \(r^2\) で割ると

\(\displaystyle \left(\frac{x_0}{r}\right)^2 + \left(\frac{y_0}{r}\right)^2 = 1\)

\(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)

が成り立ちます。また，

\(x_0 = r\cos\theta\)，\(y_0 = r\sin\theta\)

なので，これを \(\tan\theta = \displaystyle\frac{y_0}{x_0}\) に代入すると

\(\tan\theta\begin{array}[t]{l} = \displaystyle \frac{r\sin\theta}{r\cos\theta} \\ \displaystyle = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \end{array}\)

が成り立ちます。

例題１

\(\theta\) が第３象限の角で，\(\displaystyle \cos\theta = -\frac{4}{5}\) であるとき，\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) の値を求めましょう。

この問いは，上で導いた三角関数の相互関係を用いて式により求める方法と，図を描いて求める方法とがあります。

続いて，図を描いて求めます。

図を描いて解ける問いについては，図を描いて解きましょう。ただし，相互関係を用いて式を変形しなければならない場合も多くあります。この式はしっかり覚えましょう。また

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

の両辺を \(\cos^2\theta\) で割ると，次の式が得られます。

\(\begin{array}{c} \displaystyle \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} \\ \displaystyle \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} \\ \displaystyle \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} \end{array}\)

この式は，三角関数を積分するときに必要になります。併せて覚えましょう。

課題３

次の問いに答えましょう。