高校数学: テキスト（三角関数の加法定理）

本時の目標

\(\sin(\alpha \pm \beta)\)，\(\cos(\alpha \pm \beta)\)，\(\tan(\alpha \pm \beta)\) を \(\sin\alpha\)，\(\cos\alpha\)，\(\tan\alpha\)，\(\sin\beta\)，\(\cos\beta\)，\(\tan\beta\) で表すことができる。（加法定理）
\(\displaystyle \frac{\pi}{12}\) などの角について，加法定理を用いて三角関数の値を求めることができる。
\(\sin 2\theta\)，\(\cos 2\theta\)，\(\tan 2\theta\) を \(\sin\theta\)，\(\cos\theta\)，\(\tan\theta\) で表すことができる。（２倍角の公式）
\(\sin^2\theta\)，\(\cos^2\theta\) を \(\cos 2\theta\) で表すことができる。（半角の公式）

加法定理

三角関数に関して，次の定理が成り立ちます。

三角関数の加法定理

\(\begin{array}{l} \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha \pm \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \end{array}\)

まずは，この定理が成り立つことを確かめたいと思います。証明にはなりませんが，イメージをつかむために \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\alpha + \beta\) がいずれも鋭角である場合についてのみ図形を用いて確認します。下の説明を参考にして，各自のノートにまとめましょう。

上の図は，半径 \(1\) の扇形の弧上に
\(\angle\mbox{POQ} = \alpha\)，\(\angle\mbox{AOP} = \beta\)
となるように２点 \(\mbox{P}\) と \(\mbox{Q}\) をとったものです。つまり
\(\angle\mbox{AOQ} = \alpha + \beta\)
となります。さらに，点 \(\mbox{Q}\) から \(\mbox{OP}\) に垂線を下しその足を点 \(\mbox{B}\)，点 \(\mbox{B}\) から \(\mbox{OA}\) に垂線を下しその足を \(\mbox{C}\) とします。また，点 \(\mbox{Q}\) から \(\mbox{OA}\) に垂線を下しその足を \(\mbox{D}\)，点\(\mbox{B}\) から \(\mbox{QD}\) に垂線を下しその足を \(\mbox{E}\)
                とします。
            
直角三角形 \(\triangle\mbox{ODQ}\) を見ると，\(\mbox{OQ} = 1\) だから
\(\begin{array}{lcc} \sin(\alpha + \beta) = \big[\qquad\big] & \cdots & (a) \\ \cos(\alpha + \beta) = \big[\qquad\big] & \cdots & (b) \end{array}\)
直角三角形 \(\triangle\mbox{OBQ}\) を見ると，\(\mbox{OQ} = 1\)，\(\angle\mbox{BOQ} = \alpha\) だから
\(\begin{array}{lcc} \mbox{BQ} = \big[\hspace{4em}\big] & \cdots & (c) \\ \mbox{OB} = \big[\hspace{4em}\big] & \cdots & (d) \end{array}\)
また，
\(\angle\mbox{BQE}\begin{array}[t]{l} = \displaystyle 90° - \angle\mbox{EBQ} \\ = \angle\mbox{OBE} \\ = \beta \end{array}\)
となるので，直角三角形 \(\triangle\mbox{BEQ}\) を見ると

                        \(\mbox{EQ}\)
                        \(= \mbox{BQ} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
                    
                        \(= \big[\hspace{6em}\big]\quad \cdots\quad (e)\)
                    
                        \(\mbox{BE}\)
                        \(= \mbox{BQ} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
                    
                        \(= \big[\hspace{6em}\big]\quad \cdots\quad (f)\)
                    
            さらに，直角三角形 \(\triangle\mbox{BCO}\) を見ると

                        \(\mbox{BC}\)
                        \(= \mbox{OB} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
                    
                        \(= \big[\hspace{6em}\big]\quad\cdots\quad (g)\)
                    
                        \(\mbox{OC}\)
                        \(= \mbox{OB} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
                    
                        \(= \big[\hspace{6em}\big]\quad\cdots\quad (h)\)
                    
            \((a)\,(e)\,(g)\) から 
\(\sin(\alpha + \beta) = \big[\hspace{10em}\big]\)
\((b)\,(f)\,(h)\) から 
\(\cos(\alpha + \beta) = \big[\hspace{10em}\big]\)
\(\displaystyle \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\) より
\(\displaystyle \tan(\alpha + \beta) = \frac{[\hspace{3em}] + [\hspace{3em}]}{1 - [\hspace{3em}][\hspace{3em}]}\)

課題１

上で求めた３つ関係式において，\(\beta = -\beta\) として

\(\sin(\alpha - \beta),\ \cos(\alpha - \beta),\ \tan(\alpha - \beta)\)

を求めましょう。　解答隠す

課題２

加法定理を用いて，\(\displaystyle \frac{5\pi}{12}\)，\(\displaystyle \frac{\pi}{12}\) の三角関数の値を求めましょう。　解答隠す

\[\begin{eqnarray} \sin\frac{5\pi}{12} &=& \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \\[2px] &=& \sin\frac{\pi}{4}\,\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{4}\,\sin\frac{\pi}{6} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\\[6px] \cos\frac{5\pi}{12} &=& \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \\[2px] &=& \cos\frac{\pi}{4}\,\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\,\sin\frac{\pi}{6} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\\[6px] \tan\frac{5\pi}{12} &=& \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) \\[2px] &=& \frac{\displaystyle \tan\frac{\pi}{4} + \tan\frac{\pi}{6}}{\displaystyle 1 - \tan\frac{\pi}{4}\,\tan{\frac{\pi}{6}}} \\[2px] &=& \frac{\displaystyle 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{\displaystyle 1 - 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}} \\[2px] &=& \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}\\[2px] &=& 2 + \sqrt{3}\\[6px] \sin\frac{\pi}{12} &=& \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \\[2px] &=& \sin\frac{\pi}{4}\,\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\,\sin\frac{\pi}{6} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\\[6px] \cos\frac{\pi}{12} &=& \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \\[2px] &=& \cos\frac{\pi}{4}\,\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{4}\,\sin\frac{\pi}{6} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[2px] &=& \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\\[6px] \tan\frac{\pi}{12} &=& \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \\[2px] &=& \frac{\displaystyle \tan\frac{\pi}{4} - \tan\frac{\pi}{6}}{\displaystyle 1 + \tan\frac{\pi}{4}\,\tan{\frac{\pi}{6}}} \\[2px] &=& \frac{\displaystyle \frac{1 - \sqrt{3}}{3}}{\displaystyle 1 + 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}} \\[2px] &=& \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\\[2px] &=& 2 - \sqrt{3} \end{eqnarray}\]

２倍角の公式

加法定理において，\(\alpha = \beta = \theta\) とすると，次の関係が成り立ちます。

２倍角の公式

\(\sin 2\theta\)	\(= 2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos 2\theta\)	\(= \cos^2\theta - \sin^2\theta\)
	\(= 2\cos^2\theta - 1\)
	\(= 1 - 2\sin^2\theta\)
\(\tan 2\theta\)	\(\displaystyle = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\)

課題３

加法定理から２倍角の公式を導きましょう。　解答隠す

課題４

\(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) の範囲にあり，\(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{3}\) を満たしているとき，\(\sin 2\theta\)，\(\cos 2\theta\) の値を求めましょう。　解答隠す

半角の公式

\(\cos\) の２倍角の公式から

\(\begin{array}{l} \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \\ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \end{array}\)

これを，それぞれ \(\sin^2\theta\)，\(\cos^2\theta\) について解くと

\(\begin{array}{l} \displaystyle \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ \displaystyle \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \end{array}\)

ここで，\(\theta\) を \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\) で置き換えたものを半角の公式といいます。

半角の公式

\(\begin{array}{l} \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} \\ \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2} \end{array}\)

課題５

\(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) の範囲にあり，\(\displaystyle \cos\theta = \frac{1}{3}\) を満たしているとき，\(\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}\)，\(\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\) の値を求めましょう。　解答隠す

問題演習

課題６

\(\displaystyle \theta = \frac{11\pi}{12}\) の三角関数の値を求めましょう。　解答隠す

\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\)，\(\displaystyle \sin\theta = \frac{2}{3}\) のとき，\(\cos 2\theta\) と \(\sin 2\theta\) の値を求めましょう。　解答隠す

\(\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \pi\)，\(\displaystyle \cos\theta = \frac{3}{4}\) のとき，\(\cos 2\theta\) と \(\sin 2\theta\) の値を求めましょう。　解答隠す

\(0 \leqq \theta \leqq \pi\)，\(\displaystyle \cos\theta = -\frac{1}{4}\) のとき，\(\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\)，\(\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}\) の値を求めましょう。　解答隠す

Last modified: Tuesday, 9 March 2021, 5:16 PM

\(\mbox{EQ}\)	\(= \mbox{BQ} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
	\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad \cdots\quad (e)\)
\(\mbox{BE}\)	\(= \mbox{BQ} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
	\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad \cdots\quad (f)\)

\(\mbox{BC}\)	\(= \mbox{OB} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
	\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad\cdots\quad (g)\)
\(\mbox{OC}\)	\(= \mbox{OB} \times \big[\hspace{4em}\big]\)
	\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad\cdots\quad (h)\)