テキスト(三角関数の加法定理)
本時の目標
- \(\sin(\alpha \pm \beta)\),\(\cos(\alpha \pm \beta)\),\(\tan(\alpha \pm \beta)\) を \(\sin\alpha\),\(\cos\alpha\),\(\tan\alpha\),\(\sin\beta\),\(\cos\beta\),\(\tan\beta\) で表すことができる。(加法定理)
- \(\displaystyle \frac{\pi}{12}\) などの角について,加法定理を用いて三角関数の値を求めることができる。
- \(\sin 2\theta\),\(\cos 2\theta\),\(\tan 2\theta\) を \(\sin\theta\),\(\cos\theta\),\(\tan\theta\) で表すことができる。(2倍角の公式)
- \(\sin^2\theta\),\(\cos^2\theta\) を \(\cos 2\theta\) で表すことができる。(半角の公式)
加法定理
三角関数に関して,次の定理が成り立ちます。
三角関数の加法定理
\(\begin{array}{l} \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha \pm \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \end{array}\)
まずは,この定理が成り立つことを確かめたいと思います。証明にはなりませんが,イメージをつかむために \(\alpha\),\(\beta\),\(\alpha + \beta\) がいずれも鋭角である場合についてのみ図形を用いて確認します。下の説明を参考にして,各自のノートにまとめましょう。
上の図は,半径 \(1\) の扇形の弧上に
\(\angle\mbox{POQ} = \alpha\),\(\angle\mbox{AOP} = \beta\)
となるように2点 \(\mbox{P}\) と \(\mbox{Q}\) をとったものです。つまり
\(\angle\mbox{AOQ} = \alpha + \beta\)
となります。さらに,点 \(\mbox{Q}\) から \(\mbox{OP}\) に垂線を下しその足を点 \(\mbox{B}\),点 \(\mbox{B}\) から \(\mbox{OA}\) に垂線を下しその足を \(\mbox{C}\) とします。また,点 \(\mbox{Q}\) から \(\mbox{OA}\) に垂線を下しその足を \(\mbox{D}\),点\(\mbox{B}\) から \(\mbox{QD}\) に垂線を下しその足を \(\mbox{E}\) とします。
直角三角形 \(\triangle\mbox{ODQ}\) を見ると,\(\mbox{OQ} = 1\) だから
\(\begin{array}{lcc} \sin(\alpha + \beta) = \big[\qquad\big] & \cdots & (a) \\ \cos(\alpha + \beta) = \big[\qquad\big] & \cdots & (b) \end{array}\)
直角三角形 \(\triangle\mbox{OBQ}\) を見ると,\(\mbox{OQ} = 1\),\(\angle\mbox{BOQ} = \alpha\) だから
\(\begin{array}{lcc} \mbox{BQ} = \big[\hspace{4em}\big] & \cdots & (c) \\ \mbox{OB} = \big[\hspace{4em}\big] & \cdots & (d) \end{array}\)
また,
\(\angle\mbox{BQE}\begin{array}[t]{l} = \displaystyle 90° - \angle\mbox{EBQ} \\ = \angle\mbox{OBE} \\ = \beta \end{array}\)
となるので,直角三角形 \(\triangle\mbox{BEQ}\) を見ると
\(\mbox{EQ}\) | \(= \mbox{BQ} \times \big[\hspace{4em}\big]\) |
\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad \cdots\quad (e)\) | |
\(\mbox{BE}\) | \(= \mbox{BQ} \times \big[\hspace{4em}\big]\) |
\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad \cdots\quad (f)\) |
さらに,直角三角形 \(\triangle\mbox{BCO}\) を見ると
\(\mbox{BC}\) | \(= \mbox{OB} \times \big[\hspace{4em}\big]\) |
\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad\cdots\quad (g)\) | |
\(\mbox{OC}\) | \(= \mbox{OB} \times \big[\hspace{4em}\big]\) |
\(= \big[\hspace{6em}\big]\quad\cdots\quad (h)\) |
\((a)\,(e)\,(g)\) から
\(\sin(\alpha + \beta) = \big[\hspace{10em}\big]\)
\((b)\,(f)\,(h)\) から
\(\cos(\alpha + \beta) = \big[\hspace{10em}\big]\)
\(\displaystyle \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\) より
\(\displaystyle \tan(\alpha + \beta) = \frac{[\hspace{3em}] + [\hspace{3em}]}{1 - [\hspace{3em}][\hspace{3em}]}\)
課題1
上で求めた3つ関係式において,\(\beta = -\beta\) として
\(\sin(\alpha - \beta),\ \cos(\alpha - \beta),\ \tan(\alpha - \beta)\)
課題2
加法定理を用いて,\(\displaystyle \frac{5\pi}{12}\),\(\displaystyle \frac{\pi}{12}\) の三角関数の値を求めましょう。 解答 隠す
2倍角の公式
加法定理において,\(\alpha = \beta = \theta\) とすると,次の関係が成り立ちます。
2倍角の公式
\(\sin 2\theta\) | \(= 2\sin\theta\cos\theta\) |
\(\cos 2\theta\) | \(= \cos^2\theta - \sin^2\theta\) |
\(= 2\cos^2\theta - 1\) | |
\(= 1 - 2\sin^2\theta\) | |
\(\tan 2\theta\) | \(\displaystyle = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\) |
課題3
課題4
\(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) の範囲にあり,\(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{3}\) を満たしているとき,\(\sin 2\theta\),\(\cos 2\theta\) の値を求めましょう。 解答 隠す
半角の公式
\(\cos\) の2倍角の公式から
\(\begin{array}{l} \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \\ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \end{array}\)
これを,それぞれ \(\sin^2\theta\),\(\cos^2\theta\) について解くと
\(\begin{array}{l} \displaystyle \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ \displaystyle \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \end{array}\)
ここで,\(\theta\) を \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\) で置き換えたものを半角の公式といいます。
半角の公式
\(\begin{array}{l} \displaystyle \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} \\ \displaystyle \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2} \end{array}\)
課題5
\(\theta\) が \(0 \leqq \theta \leqq \pi\) の範囲にあり,\(\displaystyle \cos\theta = \frac{1}{3}\) を満たしているとき,\(\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}\),\(\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\) の値を求めましょう。 解答 隠す
問題演習
課題6
- \(\displaystyle \theta = \frac{11\pi}{12}\) の三角関数の値を求めましょう。 解答 隠す
- \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi\),\(\displaystyle \sin\theta = \frac{2}{3}\) のとき,\(\cos 2\theta\) と \(\sin 2\theta\) の値を求めましょう。 解答 隠す
- \(\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \pi\),\(\displaystyle \cos\theta = \frac{3}{4}\) のとき,\(\cos 2\theta\) と \(\sin 2\theta\) の値を求めましょう。 解答 隠す
- \(0 \leqq \theta \leqq \pi\),\(\displaystyle \cos\theta = -\frac{1}{4}\) のとき,\(\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\),\(\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}\) の値を求めましょう。 解答 隠す