テキスト（三角関数の合成）

三角関数の合成

課題１

GeoGebra を用いて 関数 \(y = \sin x + \cos x\) のグラフを描き，そのグラフの特徴を調べましょう。

グラフの形からは正弦曲線のように見えますが，もし正弦曲線であったとして，グラフから 振幅，周期及び \(x\) 軸との交点を求めましょう。

例題１

関数 \(y = \sin x + \cos x\) のグラフは果たして正弦曲線であるか？を確認しましょう。\([\quad]\) に適切な数値を埋めて，各自のノートに説明を完成させてください。

上の例のように，\(a\sin x + b\cos x\) を \(A\sin(x + \phi)\) のように１つの \(\sin\) または \(\cos\) にまとめることを三角関数の合成といいます。例題１は \(a = b = 1\) のときの合成を示したものです。

次に，一般に下のことが成り立つことを示しましょう。

上の式を丸暗記しようとすると大変です。証明の過程から，図を描いて式を変形することができると分かり易くなります。

例題２

次の式を合成しましょう。

1.　\(\sin x + \sqrt{3}\cos x\)

\(\sin x\) の係数 \(1\) と \(\cos x\) の係数 \(\sqrt{3}\) を用いて点 \(\mbox{P}(1,\ \sqrt{3})\) をとると，\(\mbox{OP} = 2\)，\(\angle\mbox{AOP} = \displaystyle \frac{\pi}{3}\) が成り立っています。上の証明の過程から分かるように，この２つを用いて

\(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\)

と変形することができます。

2.　\(\sin x - \cos x\)

\(\sin x\) の係数の \(1\) と \(\cos x\) の係数 \(-1\) を用いて点 \(\mbox{P}(1,-1)\) をとると，上の図のようになります。動径 \(\mbox{OP}\) の表す角としては \(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\) や \(\displaystyle \frac{7\pi}{4}\) をとります。すると

\(\displaystyle \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\)

となります。もちろん

\(\displaystyle \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)\)

これも同じになります。

3.　\(-2\sin x + 3\cos x\)

この式については，動径の表す角が求められません。そこで，この角を \(\phi\) とおきます。

\(\begin{array}{c} \displaystyle -2\sin x + 3\cos x = \sqrt{13}\sin(x + \phi) \\ \displaystyle \left(\cos\phi = -\frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\phi = \frac{3}{\sqrt{13}}\right) \end{array}\)

と合成することができます。

課題２

次の式を合成しましょう。

関数 \(y = a\sin x + b\cos x \) のグラフ

\(y = a\sin x + b\cos x \) は，合成をすることで正弦曲線になることが分かりました。\(\sin x\) と比較したとき，振幅がどのように変わり \(x\) 軸方向にどれだけ平行移動するかを読み取ることができるので，そのグラフを描くことができます。

課題３

次の関数のグラフを \(y = \sin x\) のグラフと比較して描き，\(x\) 軸との交点の座標を求めましょう。

関数 \(y = a\sin x + b\cos x \) の最大・最小

1. \(\ y = \sqrt{3}\sin x - \cos x\)　解答 隠す

\(\displaystyle y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\) であり
\(0 \leqq x < 2\pi\) より \(\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}\) だから
\(\displaystyle x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle x = \frac{2\pi}{3}\) で最大となり，
\(\displaystyle x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle x = \frac{5\pi}{3}\) で最少となる。 \[∴\quad\left\{\begin{array}{ll} \mbox{Maximum} = 2 & \displaystyle \left(x = \frac{2\pi}{3}\right) \\ \mbox{Minimum} = -2 & \displaystyle \left(x = \frac{5\pi}{3}\right)\end{array}\right.\]

2. \(\ y = -\sqrt{3}\sin x + 3\cos x\)　解答 隠す

\(\displaystyle y = 2\sqrt{3}\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\) であり
\(0 \leqq x < 2\pi\) より \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \leqq x + \frac{2\pi}{3} < \frac{8\pi}{3}\) だから
\(\displaystyle x + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle x = \frac{11\pi}{6}\) で最大となり，
\(\displaystyle x + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}\) で最少となる。 \[∴\quad\left\{\begin{array}{ll} \mbox{Maximum} = 2\sqrt{3} & \displaystyle \left(x = \frac{11\pi}{6}\right) \\ \mbox{Minimum} = -2\sqrt{3} & \displaystyle \left(x = \frac{5\pi}{6}\right)\end{array}\right.\]

3. \(\ y = 3\sin x - 2\cos x\)　解答 隠す

\(\displaystyle y = \sqrt{13}\sin\left(x - \phi\right)\ \left(\cos\phi = \frac{3}{\sqrt{13}},\ \sin\phi = \frac{2}{\sqrt{13}}\right)\) であり
\(0 \leqq x < 2\pi\) より \(\displaystyle -\phi \leqq x - \phi < 2\pi - \phi\) だから
\(\displaystyle x - \phi = \frac{\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \phi\) で最大となり，
\(\displaystyle x - \phi = \frac{3\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + \phi\) で最少となる。 \[∴\quad\left\{\begin{array}{ll} \mbox{Maximum} = \sqrt{13} & \displaystyle \left(x = \frac{\pi}{2} + \phi\right) \\ \mbox{Minimum} = -\sqrt{13} & \displaystyle \left(x = \frac{3\pi}{2} + \phi\right)\end{array}\right.\\\left[\,\cos\phi = \frac{3}{\sqrt{13}},\ \sin\phi = \frac{2}{\sqrt{13}}\,\right]\]