テキスト（指数法則・指数関数）

指数法則と指数の拡張

指数計算を行うためには，次の指数法則を使います。

ただし，\(m\) と \(n\) は正の整数である

枠下の中にもあるように，現時点で \(m\) と \(n\) は正の整数，つまり自然数の指数だけを扱っています。本時の学習の最初は，指数を整数全体に，そして，有理数全体に拡張していきます。

どのように拡張するかというと，ポイントは指数法則です。指数が負の整数であったり分数になったりしても，指数法則が成り立っているように拡張をします。

\(a^0\) は？

上の指数法則の \(2\) において \(m = n\) とすれば，\(a^0 = 1\) となります。\(a^0 = 1\) と定義すれば，指数法則の \(1\)・\(3\)・\(4\) も満たすことは容易に分かります。

例　\(2^0 = 1,\quad 3^0 = 1,\quad \pi^0 = 1\)

\(a^{-1}\) は？

\(a^0\) が定義できたので，この定義を使ってさらに負の整数の指数を定義します。やはり \(2\) において，\(m = 0\) とします。すると

\(\begin{array}{l} a^0 \div a^n = a^{0 - n} \\ \mbox{∴}\quad a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n} \end{array}\)

となって，この結果もまた \(1\)・\(3\)・\(4\) に対して矛盾を与えません。そこで，負の整数の指数について次のように定義します。

例　\(\displaystyle 2^{-1} = \frac{1}{2},\quad 3^{-2} = \frac{1}{9}\)

\(2^{\frac{1}{2}}\) は？

続いて，分数すなわち有理数の指数について定義します。指数法則の \(3\) を使いましょう。\(\displaystyle m = \frac{1}{2}\) と \(n = 2\) を代入すると

\(\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 \begin{array}[t]{l} \displaystyle = a^{\frac{1}{2}\cdot 2} \\ \displaystyle = a^1 \\ \displaystyle = a \end{array}\)

したがって，\(a^{\frac{1}{2}}\) は \(a\) の平方根であり，\(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\) となります。

この計算の過程から

\(a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a},\quad a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a},\quad a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a},\quad\cdots\)

などが成り立つことも分かり，この結果も \(1\cdot 2\cdot 4\) に矛盾するものではありません。そこで，分数の指数を次のように定義します。

指数の計算

課題１

指数法則を用いて次の計算をしましょう。

1. \(\displaystyle -3^{-2}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}\)

2. \(\displaystyle (-3)^{-2}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}\)

3. \(\displaystyle 64^{\frac{1}{3}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = (2^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{6\cdot\frac{1}{3}} = 2^2 = 4\)

4. \(\displaystyle \sqrt[4]{16}\)　解答 隠す

\(\displaystyle =(2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4\cdot\frac{1}{4}} = 2^1 = 2\)

5. \(\displaystyle 25^{-\frac{1}{2}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(5^2)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{5^{2\cdot\frac{1}{2}}} = \frac{1}{5}\)

6. \(\displaystyle -(-a)^3\)　解答 隠す

\(\displaystyle = -(-1\cdot a)^3 = -(-1)^3\,a^3 = a^3\)

7. \(\displaystyle \left( - \frac{1}{a^2} \right)^{-3}\)　解答 隠す

\(\displaystyle =(-1\cdot a^{-2})^{-3} = (-1)^{-3}\,a^6 = -a^6 \)

8. \(\displaystyle 3a \times (6ab^{-2})^{-1}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = 3a\,6^{-1}\,a^{-1}\,b^{-2\cdot{-1}} = \frac{3}{6}a^{1 - 1}\,b^{2} = \frac{1}{2}b^2\)

9. \(\displaystyle 6^8 \div 2^7 \times 3^{-6}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = (2\cdot 3)^{8}\cdot 2^{-7}\cdot 3^{-6} = 2^{8 - 7}\cdot 3^{8 - 6} = 2^1\cdot 3^2 = 18\)

10. \(\displaystyle 4 \times 10^8 \div (2 \times 10^5)\)　解答 隠す

\(\displaystyle = 2^2 \cdot 10^8 \cdot 2^{-1} \cdot 10^{-5} = 2 \cdot 10^3\)

11. \(\displaystyle a^2 b^3 \times \frac{4}{a^{-2}b} \div (2a^3 b^2)\)　解答 隠す

\(\displaystyle = a^2 b^3 \cdot 4 a^2 b^{-1} \cdot 2^{-1}a^{-3}b^{-2} = 2\cdot a^{2 + 2 - 3}\,b^{3 - 1 -2} = 2a\)

12. \(\displaystyle \frac{27^{\frac{5}{6}} \times 27^{-\frac{2}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = 27^{\frac{5}{6} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 27^{\frac{5 - 4 - 3}{6}} = (3^3)^{-\frac{1}{3}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\)

13. \(\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{4}{3}}}{a^{-\frac{1}{6}}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = a^{\frac{1}{2} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{3 + 8 + 1}{6}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2\)

14. \(\displaystyle \frac{8 \times \sqrt{8}}{\sqrt[6]{8}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = 8^1 \cdot 8^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}} = 8^{\frac{6 + 3 - 1}{6}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3\cdot\frac{4}{3}} = 2^4 = 16\)

15. \(\displaystyle \sqrt[4]{x^6} \times \sqrt{x}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = x^{\frac{6}{4}}\cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = x^2\)

16. \(\displaystyle \sqrt{18} \times \sqrt{72}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = \sqrt{2\cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{2^4\cdot 3^4} = 36\)

17. \(\displaystyle \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = 3\)

18. \(\displaystyle \sqrt[3]{64a^2} \div \sqrt{a}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = (2^6\cdot a^2)^{\frac{1}{3}}\cdot a^{-\frac{1}{2}} = 2^2 \cdot a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4a^{\frac{1}{6}} = 4\sqrt[6]{a}\)

19. \(\displaystyle \sqrt{x} \times \sqrt{\frac{4}{x}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = 2\)

20. \(\displaystyle \frac{\sqrt{a^3b} \times \sqrt[3]{ab^2}}{\sqrt[6]{a^5 b}}\)　解答 隠す

\(\displaystyle = (a^3 b)^{\frac{1}{2}} \cdot (ab^2)^{\frac{1}{3}} \cdot (a^5b)^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}}\,b^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = a^1\,b^1 = ab\)

1. \(y = 3^x\)
2. \(\displaystyle y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)
3. \(y = 0.9^x\)
4. \(y = -2^x\)

1. \(y = f(x)\) と \(y = g(x)\) の位置関係を答え，なぜそのような位置関係になるか？を考えましょう。
2. \(y = f(x)\) と \(y = h(x)\) の位置関係を答え，なぜそのような位置関係になるか？を考えましょう。