テキスト（対数の計算・対数関数）

課題１

次の式を満たす実数 \(x\) の値を求めましょう。

対数の定義

課題１ をグラフを用いて考えてみましょう。下に指数関数 \(y = 2^x\) のグラフを描きました。

緑の直線は，図にも示されているとおり \(y = 8\) です。この直線と \(y = 2^x\) のグラフの交点は，課題１ 1. の解を与えています。交点の \(x\) 座標が \(3\) となっていますが，確かに \(2^3\) は \(8\) になります。それでは，スライダーを左に動かしください。緑の直線が下にさがっていきますから，\(y = 0.5\) になるように操作してください。すると，そのときの直線とグラフとの交点の \(x\) 座標は \(-1\) です。\(2^{-1} = \displaystyle \frac{1}{2}\) ですから，これまた課題の 2. の解になっています。

ところで，前回，確認したように指数関数 \(y = 2^x\) は単調増加関数 ― グラフは常に右上がりです。したがって，正の定数 \(k\) に対して

\(2^x = k\)

を満たす \(x\) がただ１つ決まり，

\(k = 8\)　のとき	\(x = 3\)
\(\displaystyle k = \frac{1}{2}\)　のとき	\(x = -1\)

であるということです。それならば，\(k = 3\) の場合にも \(2^x = 3\) を満たす \(x\) の値がどこかにあるはずです。

スライダーを操作して，緑の直線を \(y = 3\) にしましょう。交点は，\(x = 1\) と　\(x = 2\) の間 ― 若干 \(2\) に近い方にあります。図の数値では，\(1.5849\) と表示されています。実は，この数は無理数 ― つまりどこまでも続く小数なのです。そこで，この数を簡単に表記するために対数を定義します。

対数を使えば，課題１の 3. の解は，\(x = \log_2 3\) と書けます。

課題２

次の式を満たす実数 \(x\) の値を対数を使って表しましょう。また，GeoGebra を用いて，その値の概数を求めましょう。

対数の計算

対数の定義は分かったけれど，一体何に使うの？　という疑問が湧きます。元々は桁数の多い掛け算や割り算を簡単に行うために考え出されたものですが，その説明をするためには，対数の計算の規則を押さえる必要があります。本時は対数の計算方法をまずマスターして、２時間後に対数の活用の一端を扱うことにします。

まず，指数法則を対数で書き換えましょう。

\(a^m = p\)，\(a^n = q\) とおくと，\(m = \log_a p\)，\(n = \log_a q\) が成り立ちます。ここで，１を変形すると

\(\begin{array}{l} pq = a^{m + n} \\ \log_a pq = m + n \\ \log_a pq = \log_a p + \log_a q \end{array}\)

同様に２を変形すると

\(\begin{array}{l} \displaystyle \frac{p}{q} = a^{m - n} \\ \displaystyle \log_a \frac{p}{q} = m - n \\ \displaystyle \log_a \frac{p}{q} = \log_a p - \log_a q \end{array}\)

続いて３を変形すると

\(\begin{array}{l} p^n = a^{mn} \\ \log_a p^n = mn \\ \log_a p^n = n\log_a p \end{array}\)

また，\(a^0 = 1\) と \(a^1 = a\) を対数で書き換えれば

\(\log_a 1 = 0,\ \log_a a = 1\)

が成り立つことも分かります。以上をまとめます。

例題１

上の関係を用いると，次のような対数の計算ができます。

\(\begin{array}{l} 2\log_5 15 - \log_5 9 \\ = 2\log_5 5\cdot 3 - \log_5 3^2 \\ = 2(\log_5 5 + \log_5 3) - 2\log_5 3 \\ = 2(1 + \log_5 3) - 2\log_5 3 \\ = 2　\\[8px] \displaystyle \log_2 \sqrt{6} - \frac{1}{2} \log_2 3 \\ = \displaystyle \log_2 (2\cdot 3)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \log_2 3 \\ \displaystyle = \frac{1}{2} (\log_2 3 + \log_2 2) - \frac{1}{2} \log_2 3 \\ \displaystyle = \frac{1}{2}(\log_2 3 + 1) - \frac{1}{2}\log_2 3 \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \end{array}\)

上記に計算は，次のように行っても同様の結果を得られます。

\(\begin{array}{l} 2\log_5 15 - \log_5 9 \\ = \log_5 (3\cdot 5)^2 - \log_5 3^2 \\ \displaystyle = \log_5 \frac{3^2 \cdot 5^2}{3^2} \\ \displaystyle = \log_5 5^2 \\ = 2 \\[8px] \displaystyle \log_2 \sqrt{6} - \frac{1}{2}\log_2 3 \\ \displaystyle = \log_2 (2\cdot 3)^{\frac{1}{2}} - \log_2 3^{\frac{1}{2}} \\ \displaystyle = \log_2 \frac{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} \\ = \log_2 2^{\frac{1}{2}} \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \end{array}\)

課題３　次の計算をしましょう。

課題４　次の計算をしましょう。

対数関数のグラフ

ここからは，対数関数 \(y = \log_a x\)（\(0 < a < 1,\ 1 < a\)）について考えます。

\(y = \log_a x\quad \cdots \quad (*)\)

を指数を使って書き換えると \(x = a^y\) となります。したがって，\((*)\) は指数関数

\(y = a^x\quad \cdots \quad (**)\)

と比べると，\(x\) と \(y\) とが入れ替わっています。ということは・・・\((*)\) と \((**)\) のグラフは \(x\) 軸と \(y\) 軸とが入れ替わったものだと言えます。

\(x\) 軸と \(y\) 軸と入れ替えてグラフを見るためには，ノートであれば，その裏側から縦横を変え透かして見れば，\(x\) 軸が上方向に \(y\) 軸が右方向になります。モニターを裏側から見ても透かして見ることはできません。どのように考えたらよいでしょう？

実は，直線 \(y = x\) に関して対称に移動すればよいのです。

下の図で，青で描かれた曲線は指数関数 \(y = a^x\) のグラフです。それに対して，赤の曲線は \(y = a^x\) のグラフを直線 \(y = x\) に関して対称に折り返したもの，つまり対数関数 \(y = \log_a x\) のグラフです。スライダーを動かすと，底の \(a\) が変化します。\(a\) の値が変化するとき，\(y = \log_a x\) のグラフがどのように変化するかを，\(y = a^x\) のグラフと比較して観察しましょう。

\(a =\)

指数関数のときと同様に，対数関数 \(y = \log_a x\) のグラフの特徴をまとめると，次のようになります。

課題５

次の関数のグラフをノートに描きましょう。