底の変換公式
\(c\) を \(c > 0\)，\(c \ne 1\) を満たす定数とすると，次の関係が成り立ちます。
\[\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]
- \(\log_4 2\) 解答 隠す
\(= \displaystyle \frac{\log_2 2}{\log_2 4} = \frac{1}{\log_2 2^2} = \frac{1}{2}\)
- \(\log_9 27\) 解答 隠す
\(\displaystyle = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{\log_3 3^3}{\log_3 3^2} = \frac{3}{2}\)
- \(\log_5 30 - \log_{25}36\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \log_5 30 - \frac{\log_5 6^2}{\log_5 5^2} \\ \displaystyle = \log_5 30 - \frac{2\log_5 6}{2\log_5 5} \\ = \log_5 30 - \log_5 6 \\ = \log_5 5 = 1 \end{array}\)
- \(\log_2 3 + \log_3 2 - \log_4 9 - \displaystyle \frac{1}{\log_4 9}\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \log_2 3 + \log_3 2 - \frac{\log_2 3^2}{\log_2 2^2} - \log_9 4 \\ \displaystyle = \log_2 3 + \log_3 2 - \log_2 3 - \frac{2\log_3 2}{2\log_3 3} \\ = \log_2 3 + \log_3 2 - \log_2 3 - \log_3 2 \\ = 0
\end{array}\)
- \(\log_a b\cdot\log_b c\cdot\log_c a\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \log_a b \cdot \frac{\log_a c}{\log_a b}\cdot\frac{\log_a a}{\log_a c} \\ = 1 \end{array}\)
指数・対数を含む方程式
それでは，指数・対数を含む方程式はどのように解くか？を見ていきましょう。
前回・前々回の授業で見てきたように，指数関数 \(y = a^x\) も対数関数 \(y = \log_a x\) も単調な関数です。異なる \(x\) の値で同じ \(y\) の値をとることはなく，次のことが成り立ちます。
\[\begin{array}{l} a^{x_1} = a^{x_2} \ \Longrightarrow\ x_1 = x_2 \\ \log_a{x_1} = \log_a{x_2} \ \Longrightarrow\ x_1 = x_2 \end{array}\]
この性質を用いて方程式を解きましょう。
例題２
- \(4^x = 4\cdot 2^x\)
- \(2\log_2 (x + 1) = \log_2 (x + 3)\)
例題２－１
底を \(2\) に揃えます。
\(\begin{array}{c} 4^x = 4\cdot 2^x \\ (2^2)^x = 2^2\cdot 2^x \\ 2^{2x} = 2^{x + 2} \\ \mbox{∴}\quad 2x = x + 2 \\ x = 2 \end{array}\)
例題２－２
真数条件より \(x + 1 > 0\) かつ \(x + 3 > 0\) ∴ \(x > -1\)
\(\begin{array}{c} 2\log_2 (x + 1) = \log_2 (x + 3) \\ \log_2 (x + 1)^2 = \log_2 (x + 3) \\ \mbox{∴}\quad (x + 1)^2 = x + 3 \\ x^2 + x - 2 = 0 \\ (x + 2)(x - 1) = 0 \\ \mbox{∴}\quad x = -2,\ x = 1 \end{array}\)
真数条件より \(x = 1\)
課題２ 次の方程式を解きましょう。
- \(9^{x + 1} = 27\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} 3^{2(x + 1)} = 3^3 \\ \mbox{∴}\quad 2(x + 1) = 3 \\ \displaystyle \mbox{∴}\quad x = \frac{1}{2} \end{array}\)
- \(8^{x - 1} = 2^{2x + 1}\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} 2^{3(x - 1)} = 2^{2x + 1} \\ \mbox{∴}\quad 3x - 3 = 2x + 1 \\ \mbox{∴}\quad x = 4 \end{array}\)
- \(\log_2 (x - 1) = \log_2 (x + 1) - 1\) 解答 隠す
\(\log_2 (x - 1) = \log_2 (x + 1) - 1\ \cdots \ \)①
真数条件より \(x - 1 > 0\) かつ \(x + 1 > 0\)
∴ \(x > 1 \ \cdots \ \)②
①を変形して
\(\begin{array}{l} \log_2 (x -1) = \log_2 \displaystyle \frac{x + 1}{2} \\ \displaystyle
\mbox{∴}\quad x - 1 = \frac{x + 1}{2} \\ \mbox{∴}\quad x = 3 \end{array}\)
- \(\log_3 x = \log_9 (3x - 2)\) 解答 隠す
\(\log_3 x = \log_9 (3x - 2)\ \cdots\ \)①
真数条件より \(x > 0\) かつ \(3x - 2 > 0\)
∴ \(\displaystyle x > \frac{2}{3} \ \cdots\ \)②
①を変形して
\(\hspace{1em}\begin{array}[t]{l} \displaystyle \log_3 x = \frac{\log_3 (3x - 2)}{\log_3 3^2} \\ 2\log_3 x = \log_3 (3x - 2) \\ \log_3 x^2 = \log_3 (3x - 2) \\ \mbox{∴}\quad x^2 = 3x - 2 \\ \hspace{1.3em} (x - 1)(x -
2) = 0 \\ \mbox{∴}\quad x = 1,\ 2\end{array}\)
いずれも②を満たす。
指数・対数を含む不等式
指数・対数を含む不等式を解く際は，方程式の解法以上に注意が必要です。と言うのも，指数関数 \(y = a^x\) や対数関数 \(y = \log_a x\) は，底 \(a\) の値により増加・減少が変わるからです。
例えば，指数関数 \(y = 2^x\) は増加関数であり，そのグラフは下図のようになりました。
したがって，「\(x_1\) と \(x_2\) の大小関係」と「\(2^{x_1}\) と \(2^{x_2}\) の大小関係」は一致し，次の関係が成り立ちます。
\(2^{x_1} < 2^{x_2}\ \Longrightarrow x_1 < x_2\)
一方，指数関数 \(\displaystyle y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) は減少関数であり，そのグラフは下図のようになりました。
したがって，「\(x_1\) と \(x_2\) の大小関係」と「\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}\) と \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\) の大小関係」は逆になり，次の関係が成り立ちます。
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x_1} < \left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\ \Longrightarrow x_1 > x_2\)
対数関数についても同様のことが成り立つので，これらは次のようにまとめられます。
指数・対数の大小関係
| \(a > 1\) のとき |
| \(\left\{\begin{array}{l} a^{x_1} < a^{x_2} \\ \log_a x_1 < \log_a x_2 \end{array}\right.\ \Longrightarrow\ x_1 < x_2\) |
| \(0 < a < 1\) のとき |
| \(\left\{\begin{array}{l} a^{x_1} < a^{x_2} \\ \log_a x_1 < \log_a x_2 \end{array}\right.\ \Longrightarrow\ x_1 > x_2\) |
課題３ 次の不等式を解きましょう。
- \(2^{2x + 3} < \sqrt[3]{16}\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} 2^{2x + 3} < 2^{\frac{4}{3}} \\ \displaystyle \mbox{∴}\quad 2x + 3 < \frac{4}{3} \\ 6x + 9 < 4 \\ \displaystyle x < -\frac{5}{6} \end{array}\)
- \((0.5)^{x - 1} < 512\) 解答 隠す
\(\begin{array}[t]{l} (2^{-1})^{x - 1} < 2^9 \\ 2^{-x + 1} < 2^9 \\ \mbox{∴}\quad -x + 1 < 9 \\ \hspace{2em} x > -8 \end{array}\)
- \(\log_2 x > \log_4 (3x - 2)\) 解答 隠す
\(\log_2 x > \log_4 (3x - 2)\ \cdots\ \)①
真数条件より
\(\quad x > 0,\quad 3x - 2 > 0\)
\(\quad x > \displaystyle \frac{2}{3}\ \cdots\ \)②
①を変形して
\(\quad \begin{array}{l} \displaystyle \log_2 x > \frac{\log_2 (3x - 2)}{\log_2 2^2} \\ \displaystyle
\log_2 x > \frac{1}{2} \log_2(3x - 2) \\ 2\log_2 x > \log_2 (3x - 2) \\ \log_2 x^2 > \log_2 (3x - 2) \\ \mbox{∴}\quad x^2 > 3x - 2 \\ (x - 1)(x - 2) > 0 \\ \mbox{∴}\quad x < 1,\ 2 < x \end{array}\)
②より \(\displaystyle
\frac{2}{3} < x < 1,\ 2 < x\)
- \(\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) + 1\) 解答 隠す
\(\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) + 1\ \cdots\ \)①
真数条件より
\(\quad x - 1 > 0,\ x + 1 > 0\)
\(\quad \mbox{∴}\quad x > 1\ \cdots\ \)②
①を変形して
\(\displaystyle \quad \log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) + \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle
\quad \log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}(x + 1)\)
\(\quad \displaystyle \mbox{∴}\quad x - 1 < \frac{1}{2}(x + 1)\)
\(\hspace{2.7em} 2x - 2 < x + 1\)
\(\hspace{2.7em} x < 3\)
②より
\(\quad
1 < x < 3\)
置き換えて２次式に
例題３
方程式 \(9^x + 3^{x + 1} - 18 = 0\) を解きましょう。
問題を解決する際に，変数の置き換えにより，振る舞いの分かっている関数に帰着させることはよく使われる手段です。その簡単な例として，上の方程式を２次方程式に帰着することを考えましょう。
指数の底を見ると \(9\) と \(3\) ですから，\(3\) に揃えてしまうことができます。
\(\begin{array}{l} 9^x + 3^{x + 1} - 18 = 0 \\ (3^2)^x + 3^x \cdot 3^1 - 18 = 0 \\ (3^x)^2 + 3\cdot 3^x - 18 = 0 \end{array}\)
ここで，\(3^x = t\) という置き換えをすれば，２次方程式に変えることができます。
\(\begin{array}{l} t^2 + 3t - 18 = 0 \\ (t - 3)(t + 6) = 0 \\ \mbox{∴}\quad t = 3,\ t = -6 \end{array}\)
ところが，\(t = 3^x\) なので \(t > 0\) でなければなりません。したがって，このうち \(t = -6\) は不適です。よって
\[t = 3 \\[2px]∴ \quad 3^x = 3 \\[2px] ∴ \quad x = 1\]
課題４
次の方程式・不等式を解きましょう。
- \(25^x -6\cdot 5^x + 5 = 0\) 解答 隠す
\(25^x -6\cdot 5^x + 5 = 0\) を変形して
\(\qquad (5^2)^x - 6\cdot 5^x + 5 = 0\)
\(\qquad (5^x)^2 - 6\cdot 5^x + 5 = 0\)
ここで，\(t = 5^x\) とおくと \(t > 0\)
\(\qquad t^2 - 6t + 5 = 0\)
\(\qquad (t - 1)(t - 5) = 0\)
\(\quad\mbox{∴}\quad
t= 1,\quad 5\)
\(\quad\mbox{∴}\quad 5^x = 1,\quad 5\)
\(\quad\mbox{∴}\quad x = 0,\quad 1\)
- \(4^{x + 1} - 33\cdot 2^x + 8 = 0\) 解答 隠す
\(4^{x + 1} - 33\cdot 2^x + 8 = 0\) を変形して
\(\qquad 4\cdot (2^x)^2 - 33 \cdot 2^x + 8 = 0\)
ここで，\(t = 2^x\) とおくと \(t > 0\)
\(\qquad 4t^2 - 33t + 8 = 0\)
\(\qquad (4t - 1)(t - 8) = 0\)
\(\displaystyle \quad\mbox{∴}\quad
t = \frac{1}{4},\quad 8\)
\(\displaystyle \quad\mbox{∴}\quad 2^x = \frac{1}{4},\quad 8\)
\(\quad\mbox{∴}\quad x = -2,\quad 3\)
- \(4^x - 7\cdot 2^x - 8 \geqq 0\) 解答 隠す
\(4^x - 7\cdot 2^x - 8 \geqq 0\) を変形して
\(\qquad (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 0 \geqq 0\)
ここで，\(t = 2^x\) とおくと \(t > 0\)
\(\qquad t^2 - 7t - 8 \geqq 0\)
\(\qquad (t + 1)(t - 8) \geqq 0\)
\(\quad \mbox{∴} \quad
t \leqq -1,\quad 8 \leqq x\)
\(\quad t > 0\) だから \(t \geqq 8\)
\(\quad \mbox{∴}\quad 2^x \geqq 8\)
\(\quad \mbox{∴}\quad x \geqq 3\)
- \((\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0 \) 解答 隠す
\((\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0 \)
真数条件より \(x > 0\)
\(t = \log_3 x\) とおくと
\(\qquad\begin{array}{l} t^2 + t - 2 = 0 \\ (t + 2)(t - 1) = 0 \\ \mbox{∴}\quad t = -2,\quad 1 \\ \mbox{∴}\quad \log_3 x = -2,\quad 1
\\ \displaystyle \mbox{∴}\quad x = \frac{1}{9},\quad 3 \end{array}\)
- \(\log_2 x \cdot \log_4 x - \log_2 x - \log_4 x - 2 = 0\) 解答 隠す
\(\log_2 x \cdot \log_4 x - \log_2 x - \log_4 x - 2 = 0\)
真数条件より \(x > 0\)
\(\qquad \begin{array}{l} \displaystyle \log_2 x \cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 2^2} - \log_2 x - \frac{\log_2 x}{\log_2 2^2} - 2 = 0 \\ \displaystyle
\frac{1}{2}(\log_2 x)^2 - \frac{3}{2}\log_2 x - 2 = 0 \\ (\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 4 = 0 \end{array}\)
ここで，\(t = \log_2 x\) とおくと
\(\qquad\begin{array}{l} t^2 - 3t - 4 = 0 \\ (t + 1)(t - 4) = 0 \\ \mbox{∴}\quad t
= -1,\quad 4 \\ \mbox{∴}\quad \log_2 x = -1,\quad 4 \\ \mbox{∴}\quad \displaystyle x = \frac{1}{2},\quad 16 \end{array}\)
- \((\log_5 x)^2 - 3\log_5 x + 2 < 0\) 解答 隠す
\((\log_5 x)^2 - 3\log_5 x + 2 < 0\)
真数条件より \(x > 0\)
また，\(t = \log_5 x\) とおくと
\(\qquad\begin{array}{l} t^2 - 3t + 2 < 0 \\ (t - 1)(t - 2) < 0 \\ \mbox{∴}\quad 1 < t < 2 \\ \mbox{∴}\quad 1 <
\log_5 x < 2 \\ \mbox{∴}\quad \log_5 5^1 < \log_5 x < \log_5 5^2 \\ \mbox{∴}\quad 5 < x < 25 \end{array}\)
課題５
次の関数の最大値と最小値を求めましょう。
- \(y = 4^x - 2^{x + 1}\) 解答 隠す
\(t = 2^x\) とおくと \(t > 0\)
\(\qquad y \begin{array}[t]{l} = t^2 - 2t \\ = (t - 1)^2 - 1 \end{array}\)
したがって，\(t
= 1\) で最小値 \(-1\) をとり，最大値はなし。
\(t = 2^x = 1\) となるのは \(x = 0\) のときだから
最小値 \(-1\quad (x = 0)\)
最大値 なし
- \(y = 9^x - 6\cdot 3^x + 2\quad (0 \leqq x \leqq 2)\) 解答 隠す
\(t = 3^x\) とおくと
\(\qquad 1 \leqq t \leqq 9 \quad \mbox{∵}\quad 0 \leqq x \leqq 2\)
\(\qquad y \begin{array}[t]{l} = t^2 - 6t + 2 \\ = (t - 3)^2 - 7 \end{array}\)
したがって，\(t = 3\) で最小値 \(-7\) をとり
\(t = 9\) で 最大値 \(29\) をとる。
\(t = 3^x = 3\) となるのは \(x = 1\)
\(t = 3^x = 9\) となるのは \(x = 2\)
最小値 \(-7 \quad
(x = 1)\)
最大値 \(29 \quad (x = 2)\)
- \(\displaystyle y = (\log_2 x)^2 + \log_2 x + 2\quad \left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 4 \right)\) 解答 隠す
\(t = \log_2 x\) とおくと
\(\qquad -1 \leqq t \leqq 2 \quad \mbox{∵} \quad \displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 4\)
\(\qquad y \begin{array}[t]{l} = t^2 + t + 2 \\ \displaystyle = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}
\end{array}\)
したがって，\(\displaystyle t = -\frac{1}{2}\) で最小値 \(\displaystyle \frac{7}{4}\) をとり
\(t
= 2\) で最大値 \(8\) をとる。
\(\displaystyle t = \log_2 x = -\frac{1}{2}\) となるのは \(\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle t = \log_2 x = 2\) となるのは \(x = 4\)
最小値 \(\displaystyle \frac{7}{4}\quad \left(x
= \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
最大値 \(8 \quad (x = 4)\)
- \(y = \log_3 (x^2 - 4x + 9)\quad (0 \leqq x \leqq 4)\) 解答 隠す
関数 \(y = x^2 - 4x + 9\) を考え，グラフを描く。
\(y = (x - 2)^2 - 4 + 9 =(x -2)^2 + 5\)
したがって，\(0 \leqq x \leqq 4\) の範囲で \(5 \leqq
y \leqq 9\)
\(x = 2\) のとき \(y = 5\)
\(x = 0,\ 4\) のとき \(y = 9\)
以上より
最小値 \(\log_3 5 \quad (x = 2)\)
最大値 \(2 \quad(x = 0,\ 4)\)