本時の目標

  1. 対数の底の変換公式を理解し,底の異なる対数を計算することができる。
  2. \(a^x\)\(\log_a x\) が単調関数であることを利用して,指数・対数を含む方程式・不等式を解くことができる。
  3. 指数・対数を含む方程式・不等式を,置き換えにより2次方程式・2次不等式に変形して解くことができる。
  4. 指数・対数を含む関数の最大値・最小値を,置き換えにより2次関数に変形して求めることができる。

底の変換公式

例題1

\(\log_2 10 - \log_4 25\) を簡単にしましょう。

この問いは底がそれぞれ \(2\)\(4\) であり,そのままでは計算することができません。対数には,このような底が異なる対数の計算を行うために,底の変換公式というものがあります。今日は,まず,この公式からスタートします。

底の変換公式

\(c\)\(c > 0\)\(c \ne 1\) を満たす定数とすると,次の関係が成り立ちます。

\[\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

証明

\(\log_a b = p\)

とおいて,この式を指数を使って書き直します。すると

\(a^p = b\)

となるので,ここで両辺の \(c\)\(c > 0,\ c \ne 1\))を底とする対数をとります。

\(\begin{array}{c} \log_c a^p = \log_c b \\ p\cdot\log_c a = \log_c b \\ \displaystyle p = \frac{\log_c b}{\log_c a} \end{array}\)

したがって,上の変換公式が成り立ちます。

証明ができたので,この公式を用いて例題1の式を簡単にしましょう。底を揃えるときには,原則として小さい方に揃えます。この場合は,底を \(2\) にすると良いでしょう。

\(\begin{array}{l} \log_2 10 - \log_4 25 \\ \displaystyle = \log_2 2\cdot 5 - \frac{\log_2 25}{\log_2 4} \\ \displaystyle = 1 + \log_2 5 - \frac{2\log_2 5}{2} \\ = 1 \end{array}\)

課題1 次の計算をしましょう。

  1. \(\log_4 2\) 解答 隠す
  2. \(\log_9 27\) 解答 隠す
  3. \(\log_5 30 - \log_{25}36\) 解答 隠す
  4. \(\log_2 3 + \log_3 2 - \log_4 9 - \displaystyle \frac{1}{\log_4 9}\) 解答 隠す
  5. \(\log_a b\cdot\log_b c\cdot\log_c a\) 解答 隠す

指数・対数を含む方程式

それでは,指数・対数を含む方程式はどのように解くか?を見ていきましょう。

前回・前々回の授業で見てきたように,指数関数 \(y = a^x\) も対数関数 \(y = \log_a x\) も単調な関数です。異なる \(x\) の値で同じ \(y\) の値をとることはなく,次のことが成り立ちます。

\[\begin{array}{l} a^{x_1} = a^{x_2} \ \Longrightarrow\ x_1 = x_2 \\ \log_a{x_1} = \log_a{x_2} \ \Longrightarrow\ x_1 = x_2 \end{array}\]

この性質を用いて方程式を解きましょう。

例題2

  1. \(4^x = 4\cdot 2^x\)
  2. \(2\log_2 (x + 1) = \log_2 (x + 3)\)

例題2-1

底を \(2\) に揃えます。

\(\begin{array}{c} 4^x = 4\cdot 2^x \\ (2^2)^x = 2^2\cdot 2^x \\ 2^{2x} = 2^{x + 2} \\ \mbox{∴}\quad 2x = x + 2 \\ x = 2 \end{array}\)

例題2-2

真数条件より \(x + 1 > 0\) かつ \(x + 3 > 0\) ∴ \(x > -1\)

\(\begin{array}{c} 2\log_2 (x + 1) = \log_2 (x + 3) \\ \log_2 (x + 1)^2 = \log_2 (x + 3) \\ \mbox{∴}\quad (x + 1)^2 = x + 3 \\ x^2 + x - 2 = 0 \\ (x + 2)(x - 1) = 0 \\ \mbox{∴}\quad x = -2,\ x = 1 \end{array}\)

真数条件より \(x = 1\)

課題2 次の方程式を解きましょう。

  1. \(9^{x + 1} = 27\) 解答 隠す
  2. \(8^{x - 1} = 2^{2x + 1}\) 解答 隠す
  3. \(\log_2 (x - 1) = \log_2 (x + 1) - 1\) 解答 隠す
  4. \(\log_3 x = \log_9 (3x - 2)\) 解答 隠す

指数・対数を含む不等式

指数・対数を含む不等式を解く際は,方程式の解法以上に注意が必要です。と言うのも,指数関数 \(y = a^x\) や対数関数 \(y = \log_a x\) は,底 \(a\) の値により増加・減少が変わるからです。

例えば,指数関数 \(y = 2^x\) は増加関数であり,そのグラフは下図のようになりました。

したがって,「\(x_1\)\(x_2\) の大小関係」と「\(2^{x_1}\)\(2^{x_2}\) の大小関係」は一致し,次の関係が成り立ちます。

\(2^{x_1} < 2^{x_2}\ \Longrightarrow x_1 < x_2\)

一方,指数関数 \(\displaystyle y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) は減少関数であり,そのグラフは下図のようになりました。

したがって,「\(x_1\)\(x_2\) の大小関係」と「\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}\)\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\) の大小関係」は逆になり,次の関係が成り立ちます。

\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x_1} < \left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\ \Longrightarrow x_1 > x_2\)

対数関数についても同様のことが成り立つので,これらは次のようにまとめられます。

指数・対数の大小関係

\(a > 1\) のとき
\(\left\{\begin{array}{l} a^{x_1} < a^{x_2} \\ \log_a x_1 < \log_a x_2 \end{array}\right.\ \Longrightarrow\ x_1 < x_2\)
\(0 < a < 1\) のとき
\(\left\{\begin{array}{l} a^{x_1} < a^{x_2} \\ \log_a x_1 < \log_a x_2 \end{array}\right.\ \Longrightarrow\ x_1 > x_2\)

課題3 次の不等式を解きましょう。

  1. \(2^{2x + 3} < \sqrt[3]{16}\) 解答 隠す
  2. \((0.5)^{x - 1} < 512\) 解答 隠す
  3. \(\log_2 x > \log_4 (3x - 2)\) 解答 隠す
  4. \(\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) + 1\) 解答 隠す

置き換えて2次式に

例題3

方程式 \(9^x + 3^{x + 1} - 18 = 0\) を解きましょう。

問題を解決する際に,変数の置き換えにより,振る舞いの分かっている関数に帰着させることはよく使われる手段です。その簡単な例として,上の方程式を2次方程式に帰着することを考えましょう。

指数の底を見ると \(9\)\(3\) ですから,\(3\) に揃えてしまうことができます。

\(\begin{array}{l} 9^x + 3^{x + 1} - 18 = 0 \\ (3^2)^x + 3^x \cdot 3^1 - 18 = 0 \\ (3^x)^2 + 3\cdot 3^x - 18 = 0 \end{array}\)

ここで,\(3^x = t\) という置き換えをすれば,2次方程式に変えることができます。

\(\begin{array}{l} t^2 + 3t - 18 = 0 \\ (t - 3)(t + 6) = 0 \\ \mbox{∴}\quad t = 3,\ t = -6 \end{array}\)

ところが,\(t = 3^x\) なので \(t > 0\) でなければなりません。したがって,このうち \(t = -6\) は不適です。よって

\[t = 3 \\[2px]∴ \quad 3^x = 3 \\[2px] ∴ \quad x = 1\]

課題4

次の方程式・不等式を解きましょう。

  1. \(25^x -6\cdot 5^x + 5 = 0\) 解答 隠す
  2. \(4^{x + 1} - 33\cdot 2^x + 8 = 0\) 解答 隠す
  3. \(4^x - 7\cdot 2^x - 8 \geqq 0\) 解答 隠す
  4. \((\log_3 x)^2 + \log_3 x - 2 = 0 \) 解答 隠す
  5. \(\log_2 x \cdot \log_4 x - \log_2 x - \log_4 x - 2 = 0\) 解答 隠す
  6. \((\log_5 x)^2 - 3\log_5 x + 2 < 0\) 解答 隠す

課題5

次の関数の最大値と最小値を求めましょう。

  1. \(y = 4^x - 2^{x + 1}\) 解答 隠す
  2. \(y = 9^x - 6\cdot 3^x + 2\quad (0 \leqq x \leqq 2)\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle y = (\log_2 x)^2 + \log_2 x + 2\quad \left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 4 \right)\) 解答 隠す
  4. \(y = \log_3 (x^2 - 4x + 9)\quad (0 \leqq x \leqq 4)\) 解答 隠す
最終更新日時: 2021年 03月 9日(火曜日) 17:20