本時の目標
- \(\log_{10}2\) 及び \(\log_{10}3\) の値を用いて,\(\log_{10}4\),\(\log_{10}5\),\(\log_{10}6\) などの値を求めることができる。
- 常用対数を用いて,大きな数について桁数を求めたり,小さな数(\(0\) に近い数)について最初に \(0\) でない数の現れる小数位を求めたりすることができる。
- 常用対数を用いて,大きな数や小さな数(\(0\) に近い数)について首位数を求めることができる。
常用対数とは?
底を \(10\) とする対数を常用対数といいます。高等学校・数学Ⅱの教科書の多くには,常用対数表 が掲載されていて,\(0.00\) から \(9.99\) の常用対数の値を調べることができます。
第15回の授業ノートに「対数は,桁数の多い掛け算や割り算を簡単に行うために考え出された」と書きました。そのことを説明しましょう。例えば
\(123456 \times 345678\)
この掛け算を対数を使って計算します。もっとも,正確な掛け算の値がでるわけではありません。
\(123456 \mbox{ ≒ } 1.23 \times 10^5,\ 345678 \mbox{ ≒ } 3.46 \times 10^5\)
\(\begin{array}{l} \log_{10} 123456 \times 345678 \\ \mbox{≒ } \log_{10} (1.23 \times 10^{5}) \times (3.46 \times 10^5) \\ = \log_{10} 1.23 \times 3.46 \times 10^{10} \\ = \log_{10} 1.23 + \log_{10} 3.46 + 10 \end{array}\)
ここで,常用対数表により \(\log_{10} 1.23\) と \(\log_{10} 3.46\) の値を求めると
\(\log_{10} 1.23 = 0.0899,\ \log_{10} 3.46 = 0.5391\)
となり,\(\log_{10} 1.23 + \log_{10} 3.46 = 0.6296\) です。この値に最も近い数値を常用対数表から探すと
\(\log_{10}4.26 = 0.6294\)
となって,上の掛け算の結果は概算で
\(123456 \times 345678 \mbox{ ≒ } 4.26 \times 10^{10}\)
であることが分かります。もっと正確な値が掲載された常用対数表を用いれば,掛け算の結果も正確になっていきます。このようにして,対数を使うことで,掛け算や割り算の計算を足し算と引き算の計算で済ませることができるようになるのです。
電卓が普及する前に,計算尺という道具がありましたが,これは対数目盛を利用した計算器です。
\(\log_{10}2\) と \(\log_{10}3\) から様々な常用対数の値を求める
常用対数表を用いなくても,\(\log_{10}2\) と \(\log_{10}3\) の値から \(\log_{10}4\),\(\log_{10}5\),\(\log_{10}6\) などの値を求めることができます。
例題1
\(\log_{10}2 = 0.3010\),\(\log_{10}3 = 0.4771\) として \(\log_{10}4\) と \(\log_{10}6\) の値を求めましょう。
\(\log_{10}4\begin{array}[t]{l} = \log_{10}2^2 \\ = 2\log_{10}2 \\ = 2\times 0.3010 \\ = 0.6020 \end{array}\)
\(\log_{10}6\begin{array}[t]{l} = \log_{10}2\times 3 \\ = \log_{10}2 + \log_{10}3 \\ = 0.3010 + 0.4771 \\ = 0.7781 \end{array}\)
課題1
\(\log_{10}2 = 0.3010\),\(\log_{10}3 = 0.4771\) として \(\log_{10}9\),\(\log_{10}12\),\(\log_{10}5\) の値を求めましょう。 開く 隠す
\begin{eqnarray} \log_{10}9 &=& \log_{10}3^2 = 2\log_{10}3 = 0.9542 \\[2px] \log_{10}12 &=& \log_{10}2^2\cdot 3 = 2\log_{10}2 + \log_{10}3 = 1.0791 \\[2px] \log_{10}5 &=& \log_{10}\frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2
= 0.6990 \end{eqnarray}
常用対数を用いて数の桁を求める
例題2
\(\log_{10}2 = 0.3010\),\(\log_{10}3 = 0.4771\) として,次の問いに答えましょう。
- \(2^{30}\) は何桁の整数か?を求めましょう。
- \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\) は,小数第何位に初めて \(0\) でない数字が現れるか?を求めましょう。
\(a = 2^{30}\) とおくと |
|
\(\log_{10}a = 30\cdot\log_{10}2 = 9.030\) |
∴ |
\(9 < \log_{10}a <10\) |
|
\(\log_{10}10^9 < \log_{10}a < \log_{10}10^{10}\) |
∴ |
\(10^9 < a < 10^{10}\) |
|
\( 1,000,000,000 < a < 10,000,000,000 \) |
したがって,\(2^{30}\) は \(10\)桁の整数。 |
|
|
\(\displaystyle b = \left(\frac{1}{3}\right)^{10} = 3^{-10}\) とおく |
|
\(\log_{10}b = -10\cdot\log_{10}3 = -4.771\) |
∴ |
\(-5 < \log_{10}b < -4\) |
|
\(\log_{10}10^{-5} < \log_{10}b < \log_{10}10^{-4}\) |
∴ |
\(10^{-5} < b < 10^{-4}\) |
|
\(0.00001 < b < 0.0001\) |
したがって,\(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\) は小数第5位に初めて |
\(0\) でない数字が現れます。 |
課題2 次の問いに答えましょう。
- \(3^{20}\) が何桁の整数であるかを求めましょう。 解答 隠す
\(\log_{10}3^{20} = 20\log_{10}3 = 20\times 0.4771 = 9.542\)
\(\begin{array}[t]{ll} ∴ & 9 < \log_{10}3^{20} < 10 \\ & \log_{10}10^9 < \log_{10}3^{20} < \log_{10}10^{10} \\ ∴ & 10^9 < 3^{20} < 10^{10} \end{array}\)
したがって,\(3^{20}\) は 10桁の数です。
- \(0.2^{50}\) が小数第何位に初めて \(0\) でない数字が現れるかを求めましょう。 解答 隠す
\(\begin{array}{ll} & \displaystyle \log_{10}0.2^{50} = 50\log_{10}\frac{2}{10} = 50(0.3010 - 1) = -34.95 \\ ∴ & -35 < \log_{10}0.2^{50} < -34 \\ & \log_{10}10^{-35} < \log_{10}0.2^{50} < \log_{10}10^{-34} \\
∴ & 10^{-35} < 0.2^{50} < 10^{-34} \end{array}\)
したがって,\(0.2^{50}\) は 少数第35位に初めて \(0\) でない数字が現れます。
常用対数を用いて首位数を求める
上では常用対数を用いて大きな数の桁数を求めましたが,さらに先頭の数値を求めることもできます。これを首位数といいます。
例題2では,\(\log_{10}2^{30} = 9.030\) であることを求め,このことから \(2^{30}\) が10桁の整数であることが分かりました。したがって,さらに
\(\displaystyle \frac{2^{30}}{10^9}\)
を考えると,この数は 〇.〇〇・・・ という小数になります。実際に \(\displaystyle \log_{10}\frac{2^{30}}{10^9}\) が幾つになるかを計算してみましょう。
\(\displaystyle \log_{10}\frac{2^{30}}{10^9}\begin{array}[t]{l} = \log_{10}2^{30} - \log_{10}10^9 \\ = 9.030 - 9 \\ = 0.03 \end{array}\)
\(\log_{10}1 = 0 < 0.03 < 0.3010 = \log_{10}2\)
したがって,\(\displaystyle \frac{2^{30}}{10^9} = 1.\cdots\cdots\) となり,\(2^{30}\) の首位数が \(1\) であると分かります。
課題3 次の数値を求めましょう。
必要に応じて,\(\log_{10}2 = 0.3010\),\(\log_{10}3 = 0.4771\),\(\log_{10}7 = 0.8451\) を用いてください。
- \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\) の首位数。 解答 隠す
\(\begin{array}{l} \displaystyle \log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{10} = -10\log_{10}3 = -4.771 \\ \displaystyle ∴\quad -5 < \log\left(\frac{1}{3}\right)^{10} < -4 \quad ∴\quad 10^{-5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{10} <
10^{-4} \end{array}\)
ここで,各辺に \(10^5\) を掛けると \(\displaystyle 1 < \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\!\cdot 10^5 < 10\) となるので,\(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\!\cdot 10^5\) の整数部分が首位数になります。
\(\displaystyle \log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{10}\!\cdot 10^5 = 5 - 4.771 = 0.229\)
\(\log_{10}1 = 0,\ \log_{10}2 = 0.3010\) だから
\(\begin{array}{l} \displaystyle \log_{10}1 < \log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{10}\!\cdot 10^5 < \log_{10}2 \\ \displaystyle ∴\quad 1 < \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\!\cdot 10^5 < 2 \end{array}\)
よって,\(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\) の首位数は \(1\)
- \(6^{15}\) の桁数と首位数。 解答 隠す
\(\log_{10}6^{15} \begin{array}[t]{l} = 15\log_{10}2\cdot 3 = 15(\log_{10}2 + \log_{10}3)\\ = 15(0.3010 + 0.4771) = 11.6715\end{array}\)
∴ \(\begin{array}[t]{l} 11 < \log_{10}6^{15} < 12 \\ 10^{11} < 6^{15} < 10^{12} \end{array}\)
また,\(\displaystyle 6^{15}\cdot 10^{-11} = 0.6715\) であり
\(\log_{10}4 = 2\cdot 0.3010 = 0.6020\)
\(\displaystyle \log_{10}5 = \log_{10}\frac{10}{2} = 1 - \log_{10}2 = 0.6990\)
だから \(\displaystyle \log_{10}4 < \log_{10}6^{15}\cdot 10^{-11} < \log_{10}5\) となり
\(6^{15}\cdot 10^{}\)
以上から \(6^{15}\) は,\(12\) 桁で首位数が \(4\) の数です。
- \(5^{20}\) の桁数と首位数。 解答 隠す
\(\begin{array}{l} \log_{10}5^{20} = 20(1 - \log_{10}2) = 13.98 \\ ∴\quad 13 < \log_{10}5^{20} < 14\quad ∴\quad 10^{13} < 5^{20} < 10^{14}\end{array}\)
また,\(\log_{10}5^{20}\cdot 10^{-13} = 0.98\) であり
\(\log_{10}9 = 2\cdot 0.4771 = 0.9542\),\(\log_{10}10 = 1\) だから
\(\log_{10}9 < \log_{10}5^{20}\cdot 10^{-13} < \log_{10}10\) となります。
以上から \(5^{20}\) は,\(14\) 桁で首位数が \(9\) の数です。
- \(8^{-20}\) について,小数第何位で初めて \(0\) 以外の数字が現れ,その数は幾つでしょうか。 解答 隠す
\(\log_{10}8^{-20} \begin{array}[t]{l} = \log_{10}2^{-60} = -60\log_{10}2 = -60\times 0.3010 \\ = -18.06\end{array}\)
∴ \(-19 < \log_{10}8^{-20} < -18\) であり
\(\log_{10}8\cdot 10^{19} = 19 - 18.06 = 0.94\) となります。
\(\log_{10}8 = \log_{10}2^3 = 3\log_{10}2 = 0.9030\)
\(\log_{10}9 = \log_{10}3^2 = 2\log_{10}3 = 0.9542\)
だから,\(\log_{10}8 < \log_{10}8^{-20}\cdot 10^{19} < \log_{10}9\) となって
\(8 < 8^{-20}\cdot 10^{19} < 9\) であることが分かります。
以上から \(8^{-20}\) は,小数第19位に始めて \(0\) でない数字 \(8\) が現れる数です。
- \(6^n\) が50桁以上の整数であるような整数 \(n\) の最小値。 解答 隠す
\(\begin{array}{l} 6^n \geqq 10^{49} \\ \log_{10}6^n \geqq \log_{10}10^{49} \\ n(\log_{10}2 + \log_{10}3) \geqq 49\log_{10}10 \\ n(0.3010 + 0.4771) \geqq 49 \\ 0.781 n \geqq 49 \\ n \geqq 62.97\cdots \end{array}\)
よって,\(6^n\) が50桁以上の整数となる \(n\) の最小値は \(63\)
- \(1.01^n\) が \(2\) を超える最小の整数 \(n\)。 解答 隠す
\(\begin{array}{l} 1.01^n > 2 \\ \log_{10}1.01^n > \log_{10}2 \\ n\log_{10}1.01 > 0.3010 \\ 0.004321n > 0.3010 \\ n > 69.65 \end{array}\)
よって,\(1.01^n\) が \(2\) を超える最小の整数は \(70\)