本時の目標

  1. 積の導関数の公式を理解し,これを用いて積の形の関数を微分することができる。
  2. 商の導関数の公式を理解し,これを用いて分数関数を微分することができる。

公式の確認

まず,「積の導関数」「商の導関数」の公式を確認しましょう。

\[\begin{array}{l} \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\[8px] \displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{array}\]

複雑な形の公式ですが,覚えにくいものではありません。この2つの公式を使いこなせないと,複雑な式で表される関数を微分することはできません。微分の計算を練習して,早く覚えましょう。

それでは,それぞれの公式を証明し,使い方を説明します。

積の導関数

導関数の定義から

\(\begin{array}{l} \{f(x)g(x)\}' \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)g(x + h) \textcolor{red}{- f(x)g(x + h)} \textcolor{blue}{+ f(x)g(x + h)} - f(x)g(x)}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\Bigg\{\frac{f(x + h)\textcolor{green}{g(x + h)} - f(x)\textcolor{green}{g(x + h)}}{h} \\ \hspace{14em} \displaystyle + \frac{\textcolor{orange}{f(x)}g(x + h) - \textcolor{orange}{f(x)}g(x)}{h}\Bigg\} \\[4px] \displaystyle = \lim_{h \to 0}\left\{\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\cdot \textcolor{green}{g(x + h)} + \textcolor{orange}{f(x)}\cdot\frac{g(x + h) - g(x)}{h}\right\} \\[4px] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{array}\)

例題1

関数 \(y = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)\) を微分しましょう。

\(\begin{array}{l} y = \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)} \\ y'\begin{array}[t]{l} = \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)'}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)} + \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)'} \\ = \textcolor{blue}{(2x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)} + \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)}\textcolor{green}{(2x - 1)} \\ = 2x(2x^2 + 1) \end{array}\end{array}\)

例題のような多項式関数であれば展開して微分することもできますが,三角関数や指数関数などの掛け算を含む関数 ― 例えば \(x\sin x\) など ― は,「積の導関数の公式」を使わなければ微分することができません。

また,この公式と数学的帰納法を用いると,任意の自然数 \(n\) について

\((x^n)' = nx^{n - 1}\ \cdots\ (*)\)

が成り立つことを示すことができます。

導関数の定義から

\((x)'\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\ = 1 \end{array}\)

したがって,\(n = 1\) で \((*)\) が成り立つことが示されました。

\(n = k\) で \((x^k)' = kx^{k - 1}\) が成り立つと仮定すると

\((x^{k + 1})'\begin{array}[t]{l} = (x\cdot x^k)' \\ = (x)'x^k + x(x^k)' \\ = x^k + x(kx^{k - 1}) \\ = (k + 1)x^k \end{array}\)

となって,\(n = k + 1\) で \((*)\) の成り立つことが分かりました。

以上から,任意の自然数 \(n\) について \((*)\) の成り立つことが示されました。

課題1

積の導関数の公式を用いて,次の関数を微分しましょう。

  1. \(y = (2x + 1)(x - 3)\) 解答 隠す
  2. \(y = (x + 1)(x^2 + 2)\) 解答 隠す
  3. \(y = (x^2 + 1)(2x - 3)\) 解答 隠す
  4. \(y = (3x + 1)(x^2 + x + 1)\) 解答 隠す
  5. \(y = (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 3)\) 解答 隠す

商の導関数

導関数の定義から

\(\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' \begin{array}[t]{l} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle\frac{f(x + h)}{g(x + h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x) - f(x)g(x + h)}{hg(x + h)g(x)} \\ \displaystyle = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h)g(x) \textcolor{red}{- f(x)g(x)} - f(x)g(x + h) \textcolor{blue}{+ f(x)g(x)}}{hg(x + h)g(x)} \\ \displaystyle = \lim_{h\to 0}\Bigg\{\frac{f(x + h)\textcolor{green}{g(x)} - f(x)\textcolor{green}{g(x)}}{hg(x + h)g(x)} \\ \displaystyle \hspace{12em} - \frac{\textcolor{orange}{f(x)}g(x + h) - \textcolor{orange}{f(x)}g(x)}{hg(x + h)g(x)}\Bigg\} \\[4px] \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x + h) -f(x)}{h}\textcolor{green}{g(x)} - \textcolor{orange}{f(x)}\displaystyle \frac{g(x + h) - g(x)}{h}}{g(x + h)g(x)} \\[4px] \displaystyle = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{array}\)

特に 分子が \(1\) である \(\displaystyle y = \frac{1}{g(x)}\) については

\(\begin{array}{l} \displaystyle \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' \\ \displaystyle = \frac{(1)'\cdot g(x) - 1\cdot\{g(x)\}'}{\{g(x)\}^2} \\ \displaystyle = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{array}\)

が成り立っています。

例題2

関数 \(y = \displaystyle \frac{x}{x^2 + 1}\) を微分しましょう。

\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle y = \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x^2 + 1}} \\ y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{(x)'}(\textcolor{red}{x^2 + 1}) - \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(x^2 + 1)'}}{(\textcolor{red}{x^2 + 1})^2} \\ \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{1}\cdot(\textcolor{red}{x^2 + 1}) - \textcolor{blue}{x}\cdot\textcolor{red}{2x}}{(x^2 + 1)^2} \\ \displaystyle = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} \end{array}\end{array}\)

また,この公式を用いると,\(n\) が負の整数のときにも

\((x^n)' = nx^{n - 1}\ \cdots\ (*)\)

の成り立つことを示すことができます。今,\(n = -m\)(\(m\) は正の整数)としましょう。商の導関数の公式を使えば

\((x^n)'\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left(\frac{1}{x^m}\right)' \\ \displaystyle = -\frac{(x^m)'}{x^{2m}} \\ \displaystyle = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} \\ = -mx^{-m - 1} \\ = nx^{n - 1} \end{array}\)

したがって,ここまでに \((*)\) はすべての整数 \(n\) について成り立つことが分かりました。

課題2

商の導関数の公式を用いて,次の関数を微分しましょう。

  1. \(\displaystyle y = \frac{1}{x^2}\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle y = \frac{1}{x - 2}\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle y = \frac{x^2 + 4}{x}\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle y = \frac{x + 2}{x^2}\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle y = \frac{x}{x^2 + 4}\) 解答 隠す

問題演習

課題3 次の関数を微分しましょう。

  1. \(y = (x^2 + 1)(x^2 -x -3)\) 解答 隠す
  2. \(y = (x^3 + x)(x^2 - 2)\) 解答 隠す
  3. \(y = \sqrt{x}(x + 1)\) 解答 隠す
  4. \(y = (x + 1)^4\) 解答 隠す
  5. \(y = (x^3 + 2x)(2x - 1)\) 解答 隠す
  6. \(\displaystyle y =\frac{x^2 + x + 2}{2x + 1} \) 解答 隠す
  7. \(\displaystyle y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}\) 解答 隠す
  8. \(\displaystyle y = \frac{2x + 1}{\sqrt{x}}\) 解答 隠す
  9. \(\displaystyle y = \frac{\sqrt{x} + 1}{x}\) 解答 隠す
  10. \(\displaystyle y = \frac{1}{(2x + 1)^2}\) 解答 隠す
最終更新日時: 2021年 04月 9日(金曜日) 12:01