本時の目標
- 積の導関数の公式を理解し,これを用いて積の形の関数を微分することができる。
- 商の導関数の公式を理解し,これを用いて分数関数を微分することができる。
公式の確認
まず,「積の導関数」「商の導関数」の公式を確認しましょう。
\[\begin{array}{l} \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\[8px] \displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{array}\]
複雑な形の公式ですが,覚えにくいものではありません。この2つの公式を使いこなせないと,複雑な式で表される関数を微分することはできません。微分の計算を練習して,早く覚えましょう。
それでは,それぞれの公式を証明し,使い方を説明します。
積の導関数
導関数の定義から
\(\begin{array}{l} \{f(x)g(x)\}' \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)g(x + h) \textcolor{red}{- f(x)g(x + h)} \textcolor{blue}{+ f(x)g(x + h)} - f(x)g(x)}{h} \\
\displaystyle = \lim_{h \to 0}\Bigg\{\frac{f(x + h)\textcolor{green}{g(x + h)} - f(x)\textcolor{green}{g(x + h)}}{h} \\ \hspace{14em} \displaystyle + \frac{\textcolor{orange}{f(x)}g(x + h) - \textcolor{orange}{f(x)}g(x)}{h}\Bigg\} \\[4px]
\displaystyle = \lim_{h \to 0}\left\{\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\cdot \textcolor{green}{g(x + h)} + \textcolor{orange}{f(x)}\cdot\frac{g(x + h) - g(x)}{h}\right\} \\[4px] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{array}\)
例題1
関数 \(y = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)\) を微分しましょう。
\(\begin{array}{l} y = \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)} \\ y'\begin{array}[t]{l} = \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)'}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)} + \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)'}
\\ = \textcolor{blue}{(2x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 - x + 1)} + \textcolor{blue}{(x^2 + x + 1)}\textcolor{green}{(2x - 1)} \\ = 2x(2x^2 + 1) \end{array}\end{array}\)
例題のような多項式関数であれば展開して微分することもできますが,三角関数や指数関数などの掛け算を含む関数 ― 例えば \(x\sin x\) など ― は,「積の導関数の公式」を使わなければ微分することができません。
また,この公式と数学的帰納法を用いると,任意の自然数 \(n\) について
\((x^n)' = nx^{n - 1}\ \cdots\ (*)\)
が成り立つことを示すことができます。
導関数の定義から
\((x)'\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\ = 1 \end{array}\)
したがって,\(n = 1\) で \((*)\) が成り立つことが示されました。
\(n = k\) で \((x^k)' = kx^{k - 1}\) が成り立つと仮定すると
\((x^{k + 1})'\begin{array}[t]{l} = (x\cdot x^k)' \\ = (x)'x^k + x(x^k)' \\ = x^k + x(kx^{k - 1}) \\ = (k + 1)x^k \end{array}\)
となって,\(n = k + 1\) で \((*)\) の成り立つことが分かりました。
以上から,任意の自然数 \(n\) について \((*)\) の成り立つことが示されました。
課題1
積の導関数の公式を用いて,次の関数を微分しましょう。
- \(y = (2x + 1)(x - 3)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y &=& \textcolor{blue}{(2x + 1)}\textcolor{green}{(x - 3)} \\ y' &=& \textcolor{blue}{(2x + 1)'}\textcolor{green}{(x - 3)} + \textcolor{blue}{(2x + 1)}\textcolor{green}{(x - 3)'} \\ &=& \textcolor{blue}{2}\textcolor{green}{(x
- 3)} + \textcolor{blue}{(2x + 1)}\cdot \textcolor{green}{1} \\ &=& 4x - 5 \end{eqnarray}
- \(y = (x + 1)(x^2 + 2)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y &=& \textcolor{blue}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 + 2)} \\ y' &=& \textcolor{blue}{(x + 1)'}\textcolor{green}{(x^2 + 2)} + \textcolor{blue}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 + 2)'} \\ &=& \textcolor{blue}{1}\cdot\textcolor{green}{(x^2
+ 2)} + \textcolor{blue}{(x + 1)}\cdot \textcolor{green}{2x} \\ &=& x^2 + 2 + 2x^2 + 2x \\ &=& 3x^2 + 2x + 2 \end{eqnarray}
- \(y = (x^2 + 1)(2x - 3)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y &=& \textcolor{blue}{(x^2 + 1)}\textcolor{green}{(2x - 3)} \\ y' &=& \textcolor{blue}{(x^2 + 1)'}\textcolor{green}{(2x - 3)} + \textcolor{blue}{(x^2 + 1)}\textcolor{green}{(2x - 3)'} \\ &=& \textcolor{blue}{2x}\textcolor{green}{(2x
- 3)} + \textcolor{blue}{(x^2 + 1)}\cdot \textcolor{green}{2} \\ &=& 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 \\ &=& 6x^2 - 6x + 2 \end{eqnarray}
- \(y = (3x + 1)(x^2 + x + 1)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y &=& \textcolor{blue}{(3x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 + x + 1)} \\ y' &=& \textcolor{blue}{(3x + 1)'}\textcolor{green}{(x^2 + x + 1)} + \textcolor{blue}{(3x + 1)}\textcolor{green}{(x^2 + x + 1)'} \\ &=&
\textcolor{blue}{3}\textcolor{green}{(x^2 + x + 1)} + \textcolor{blue}{(3x + 1)}\textcolor{green}{(2x + 1)} \\ &=& 3x^2 + 3x + 3 + 6x^2 + 5x + 1 \\ &=& 9x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray}
- \(y = (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x + 3)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y &=& \textcolor{blue}{(x^2 - 2x + 2)}\textcolor{green}{(x^2 - 2x + 3)} \\ y' &=& \textcolor{blue}{(x^2 - 2x + 2)'}\textcolor{green}{(x^2 - 2x + 3)} \\ && \hspace{4em} + \textcolor{blue}{(x^2 -
2x + 2)}\textcolor{green}{(x^2 - 2x + 3)'} \\ &=& \textcolor{blue}{(2x - 2)}\textcolor{green}{(x^2 - 2x + 3)} + \textcolor{blue}{(x^2 - 2x + 2)}\textcolor{green}{(2x - 2)} \\ &=& 2(x - 1)(x^2 - 2x + 3 + x^2 - 2x + 2)
\\ &=& 2(x - 1)(2x^2 - 4x + 5) \end{eqnarray}
商の導関数
導関数の定義から
\(\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' \begin{array}[t]{l} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle\frac{f(x + h)}{g(x + h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x) - f(x)g(x + h)}{hg(x
+ h)g(x)} \\ \displaystyle = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h)g(x) \textcolor{red}{- f(x)g(x)} - f(x)g(x + h) \textcolor{blue}{+ f(x)g(x)}}{hg(x + h)g(x)} \\ \displaystyle = \lim_{h\to 0}\Bigg\{\frac{f(x + h)\textcolor{green}{g(x)} - f(x)\textcolor{green}{g(x)}}{hg(x
+ h)g(x)} \\ \displaystyle \hspace{12em} - \frac{\textcolor{orange}{f(x)}g(x + h) - \textcolor{orange}{f(x)}g(x)}{hg(x + h)g(x)}\Bigg\} \\[4px] \displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x + h) -f(x)}{h}\textcolor{green}{g(x)}
- \textcolor{orange}{f(x)}\displaystyle \frac{g(x + h) - g(x)}{h}}{g(x + h)g(x)} \\[4px] \displaystyle = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{array}\)
特に 分子が \(1\) である \(\displaystyle y = \frac{1}{g(x)}\) については
\(\begin{array}{l} \displaystyle \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' \\ \displaystyle = \frac{(1)'\cdot g(x) - 1\cdot\{g(x)\}'}{\{g(x)\}^2} \\ \displaystyle = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2} \end{array}\)
が成り立っています。
例題2
関数 \(y = \displaystyle \frac{x}{x^2 + 1}\) を微分しましょう。
\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle y = \frac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x^2 + 1}} \\ y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{(x)'}(\textcolor{red}{x^2 + 1}) - \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(x^2 + 1)'}}{(\textcolor{red}{x^2
+ 1})^2} \\ \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{1}\cdot(\textcolor{red}{x^2 + 1}) - \textcolor{blue}{x}\cdot\textcolor{red}{2x}}{(x^2 + 1)^2} \\ \displaystyle = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} \end{array}\end{array}\)
また,この公式を用いると,\(n\) が負の整数のときにも
\((x^n)' = nx^{n - 1}\ \cdots\ (*)\)
の成り立つことを示すことができます。今,\(n = -m\)(\(m\) は正の整数)としましょう。商の導関数の公式を使えば
\((x^n)'\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left(\frac{1}{x^m}\right)' \\ \displaystyle = -\frac{(x^m)'}{x^{2m}} \\ \displaystyle = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} \\ = -mx^{-m - 1} \\ = nx^{n - 1} \end{array}\)
したがって,ここまでに \((*)\) はすべての整数 \(n\) について成り立つことが分かりました。
課題2
商の導関数の公式を用いて,次の関数を微分しましょう。
- \(\displaystyle y = \frac{1}{x^2}\) 解答 隠す
\(\displaystyle y' = -\frac{(x^2)'}{(x^2)^2} = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}\)
- \(\displaystyle y = \frac{1}{x - 2}\) 解答 隠す
\(\displaystyle y' = -\frac{(x - 2)'}{(x - 2)^2} = -\frac{1}{(x - 2)^2}\)
- \(\displaystyle y = \frac{x^2 + 4}{x}\) 解答 隠す
\(y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{(x^2 + 4)'}\cdot \textcolor{red}{x} - (\textcolor{blue}{x^2 + 4})\cdot\textcolor{red}{(x)'}}{\textcolor{red}{x}^2} \\ \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{x}
- (\textcolor{blue}{x^2 + 4})\cdot \textcolor{red}{1}}{x^2} \\ \displaystyle = \frac{x^2 - 4}{x^2}\end{array}\)
- \(\displaystyle y = \frac{x + 2}{x^2}\) 解答 隠す
\(y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{(x + 2)'}\cdot \textcolor{red}{x^2} - (\textcolor{blue}{x + 2})\cdot\textcolor{red}{(x^2)'}}{(\textcolor{red}{x^2})^2} \\ \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{1}\cdot \textcolor{red}{x^2}
- (\textcolor{blue}{x + 2})\cdot \textcolor{red}{2x}}{x^4} \\ \displaystyle = \frac{x(x - 2x - 4)}{x^4} \\ \displaystyle = -\frac{x + 4}{x^3} \end{array}\)
- \(\displaystyle y = \frac{x}{x^2 + 4}\) 解答 隠す
\(y' \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{(x)'}(\textcolor{red}{x^2 + 4}) - \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(x^2 + 4)'}}{(\textcolor{red}{x^2 + 4})^2} \\ \displaystyle = \frac{\textcolor{blue}{1}\cdot(\textcolor{red}{x^2
+ 4}) - \textcolor{blue}{x}\cdot \textcolor{red}{2x}}{(x^2 + 4)^2} \\ \displaystyle = -\frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2} \end{array}\)
問題演習
課題3 次の関数を微分しましょう。
- \(y = (x^2 + 1)(x^2 -x -3)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& 2x\cdot(x^2 - x - 3) + (x^2 + 1)(2x - 1) \\ &=& 2x^3 - 2x^2 - 6x + 2x^3 - x^2 + 2x - 1 \\ &=& 4x^3 - 3x^2 - 4x - 1 \end{eqnarray}
- \(y = (x^3 + x)(x^2 - 2)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& (3x^2 + 1)(x^2 - 2) + (x^3 + x)\cdot 2x \\ &=& 3x^4 - 5x^2 - 2 + 2x^4 + 2x^2 \\ &=& 5x^4 - 3x^2 - 2 \end{eqnarray}
- \(y = \sqrt{x}(x + 1)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& \left(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}}\right)' \\ &=& \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\ &=& \frac{3x + 1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}
- \(y = (x + 1)^4\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& \left(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\right)' \\ &=& 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 \\ &=& 4(x + 1)^3 \end{eqnarray}
- \(y = (x^3 + 2x)(2x - 1)\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& (3x^2 + 2)(2x - 1) + (x^3 + 2x)\cdot 2 \\ &=& 6x^3 - 3x^2 + 4x - 2 + 2x^3 + 4x \\ &=& 8x^3 -3x^2 + 8x - 2 \end{eqnarray}
- \(\displaystyle y =\frac{x^2 + x + 2}{2x + 1} \) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& \frac{(2x + 1)(2x + 1) - (x^2 + x + 2)\cdot 2}{(2x + 1)^2} \\ &=& \frac{4x^2 + 4x + 1 - (2x^2 + 2x + 4)}{(2x + 1)^2} \\ &=& \frac{2x^2 + 2x - 3}{(2x + 1)^2} \end{eqnarray}
- \(\displaystyle y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& \frac{(2x + 1)(x^2 + 1) - (x^2 + x + 1)\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \\ &=& \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1 - (2x^3 + 2x^2 + 2x)}{(x^2 + 1)^2} \\ &=& -\frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \end{eqnarray}
- \(\displaystyle y = \frac{2x + 1}{\sqrt{x}}\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& \left(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)' \\ &=& \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} \\ &=& \frac{2x - 1}{2x\sqrt{x}} \end{eqnarray}
- \(\displaystyle y = \frac{\sqrt{x} + 1}{x}\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& \frac{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x - (\sqrt{x} + 1)\cdot 1}{x^2} \\ &=& \frac{\frac{1}{2}\sqrt{x} - \sqrt{x} - 1}{x^2} \\ &=& -\frac{\sqrt{x} + 2}{2x^2} \end{eqnarray}
- \(\displaystyle y = \frac{1}{(2x + 1)^2}\) 解答 隠す
\begin{eqnarray} y' &=& -\frac{((2x + 1)^2)'}{(2x + 1)^4} \\ &=& -\frac{(4x^2 + 4x + 1)'}{(2x + 1)^4} \\ &=& -\frac{4(2x + 1)}{(2x + 1)^4} \\ &=& -\frac{4}{(2x + 1)^3} \end{eqnarray}