テキスト(合成関数の導関数)
本時の目標
- 合成関数について理解し,複雑な関数を複数の関数の合成関数と見ることができる。
- 合成関数の導関数の公式を用いて,置き換えをすることにより合成関数の導関数を求めることができる。
- 最終的には,置き換えをせずに合成関数の導関数の公式を利用できることを目指す。
- これまでに学んだ導関数の公式を用いて,有理関数や無理関数の導関数を求めることができる。
合成関数
課題1
関数 \(f(x) = (2x + 3)^3\) を微分しましょう。
これまで関数 \(f(x) = (2x + 3)^3\) を微分しようとすると,式を展開する必要がありました。ところが,累乗が大きくなると展開の計算は大変です。何とか,もう少し簡単に導関数を求める方法はないでしょうか? 勿論あります。
例えば,関数 \(f(x) = (2x + 3)^3\) については,\(g(x) = x^3\) と \(u(x) = 2x + 3\) の2つの関数を考えると\[f(x) = g(u(x))\]と表すことができます。このことを,「\(f(x)\) は,関数 \(g(x) = x^3\) と \(u(x) = 2x + 3\) の合成関数である。」といいます。
合成関数は,次のようにして導関数を求めることができます。
置き換えて微分
導関数を定義から
\(f'(x)\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x + h)) - g(u(x))}{h} \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{g(u(x + h)) - g(u(x))}{u(x + h) - u(x)}\cdot\frac{u(x + h) - u(x)}{h} \end{array}\)
ここで,\(u(x) = u\),\(u(x + h) - u(x) = H\) とおくと \(u(x + h) = u + H\) であり,\(h \to 0\) のとき \(H \to 0\)
\(f'(x)\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{g(u + H) - g(u)}{H}\cdot\frac{u(x + h) - u(x)}{h} \\ \displaystyle = \lim_{H \to 0}\frac{g(u + H) - g(u)}{H}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{u(x + h) -u(x)}{h} \end{array}\)
この式の \(\displaystyle \lim_{H \to 0}\frac{g(u + H) - g(u)}{H}\) と \(\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{u(x + h) - u(x)}{h}\) が何を意味するか?を \(y = (2x + 3)^3\) で具体的に見ましょう。
\(u = 2x + 3\) とおくと \(y = u^3\) となり,上で見たように \(y = g(u)\) です。
\(\displaystyle \lim_{H \to 0}\frac{g(u + H) - g(u)}{H}\) は,\(g(u) = u^3\) を \(u\) で微分するという意味ですから
\(\displaystyle \frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(2x + 3)^2\)
そして,\(\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{u(x + h) - u(x)}{h}\) は,\(u(x) = 2x + 3\) を \(x\) で微分しますから
\(\displaystyle \frac{du}{dx} = 2\)
となって
\(f'(x)\begin{array}[t]{l} = 3(2x + 3)^2\cdot 2 \\ = 6(2x + 3)^2 \end{array}\)
合成関数の導関数(連鎖率)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\)
この公式を用いると
\((x^n)' = nx^{n - 1}\ \cdots\ (*)\)
この式が,任意の有理数 \(n\) について成り立つことを示すことができます。今,\(n = \displaystyle \frac{p}{q}\) とおきましょう。\[\begin{eqnarray} y &=& x^n \\ y &=& x^{\frac{p}{q}} \\ y^q &=& x^p \\qy^{q - 1}\cdot y' &=& px^{p - 1} \\ qx^{n(q - 1)}\cdot y' &=& px^{p - 1} \\ y' &=& \displaystyle \frac{p}{q} x^{p - 1 - nq + n} \\ y' &=& nx^{n - 1} \end{eqnarray}\]これにより,ここまでに \((*)\) が任意の有理数 \(n\) について成り立つことが分かりました。
課題2
合成関数の導関数を用いて,次の関数を微分しましょう。
微分のまとめ演習
課題3 次の関数を微分しましょう。
- \(y = (x^2 + x + 1)(x^2 + x -1)\) 解答 隠す
- \(y = (2x^2 - x + 1)(x^2 + 2x + 1)\) 解答 隠す
- \(y = \displaystyle\frac{x^2 -1}{x^2 + 1}\) 解答 隠す
- \(y = \displaystyle\frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 3x - 1}\) 解答 隠す
- \(y = (3x - 2)^4\) 解答 隠す
- \(y = (x^2 + 3x - 1)^2\) 解答 隠す
- \(y = \displaystyle\frac{1}{(x^2 + 2x)^3}\) 解答 隠す
- \(y = \displaystyle\frac{1}{(2x^3 + 5x)^4}\) 解答 隠す
- \(y = \displaystyle\frac{2x}{(3x - 2)^2}\) 解答 隠す
- \(y = \sqrt{2x^2 - 1}\) 解答 隠す