テキスト（４次関数のグラフ）

今日のテーマは４次関数のグラフの描画です。４次関数の導関数は３次関数ですから，３次関数の符号を効率良く調べなければなりません。３次関数のグラフを描いた際には，導関数のグラフと \(x\) 軸との交点の座標を調べるため，まず導関数の因数分解を試みました。４次関数も同様です。それでは，３次関数の因数分解からスタートしましょう。

1. \((x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0\)
2. \(x^3 - x^2 \geqq 0\)

1. \(x^3 + 2x^2 - x - 2 \leqq 0\)　解答 隠す

\(f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2\) とおくと，\(f(1) = 1 + 2 - 1 -2 = 0\) となるので，\(f(x)\) は \(x - 1\) で割り切れる。 \begin{eqnarray} x^3 + 2x^2 - x - 2 &=& (x - 1)(x^2 + 3x + 2) \\ &=& (x - 1)(x + 1)(x + 2) \end{eqnarray} したがって　\((x - 1)(x + 1)(x + 2) \leqq 0\)

グラフより　\(x \leqq -2,\quad -1 \leqq x \leqq 1\)

2. \(x^3 - 2x^2 + x > 0\)　解答 隠す

\begin{array}{c} x(x^2 - 2x + 1) > 0 \\ x(x - 1)^2 > 0 \end{array}

グラフより　\(0 < x < 1,\quad 1 < x\)

1. \(\displaystyle f(x) = x^4 -2x^2 + 1\)　解答 隠す

\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = 4x^3 - 4x \\ = 4x(x^2 - 1) \\ = 4x(x + 1)(x - 1) \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}\)

2. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2\)　解答 隠す

\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = x^3 - 5x^2 + 6x \\ = x(x^2 - 5x + 6) \\ = x(x - 2)(x - 3) \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{8}{3} & \searrow & \displaystyle \frac{9}{4} & \nearrow \\ \hline \end{array}\)

3. \(\displaystyle f(x) = 3x^4 - 4x^3\)　解答 隠す

\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = 12x^3 - 12x^2 \\ = 12x^2(x - 1) \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow \\ \hline \end{array}\)

4. \(\displaystyle f(x) = -\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x^2\)　解答 隠す

\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = -x^3 - x^2 + 2x \\ = -x(x^2 + x - 2) \\ = -x(x + 2)(x - 1) \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \displaystyle \frac{8}{3} & \searrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{5}{12} & \searrow \\ \hline \end{array}\)

5. \(\displaystyle f(x) = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 - 4x\)　解答 隠す

\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = -4x^3 + 4x^2 + 4x - 4 \\ = -4(x^3 - x^2 - x + 1) \\ = -4(x - 1)^2(x + 1) \end{array}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \displaystyle \frac{11}{3} & \searrow & \displaystyle -\frac{5}{3} & \searrow \\ \hline \end{array}\)