本時の目標
- 因数定理による3次式の因数分解を確認する。
- 3次関数について,因数分解した式を用いて正領域と負領域を求めることができる。
- 上記を利用して,4次関数の増減表を書き,さらに4次関数のグラフを描くことができる。
今日のテーマは4次関数のグラフの描画です。4次関数の導関数は3次関数ですから,3次関数の符号を効率良く調べなければなりません。3次関数のグラフを描いた際には,導関数のグラフと \(x\) 軸との交点の座標を調べるため,まず導関数の因数分解を試みました。4次関数も同様です。それでは,3次関数の因数分解からスタートしましょう。
3次式の因数分解
課題1
3次式は,基本的に因数定理を用いて因数分解しました。確認として,次の式を因数分解しましょう。
\(f(x) = x^3 - x^2 - 6x - 4\)
忘れてしまった方は「02 剰余の定理と因数定理」で確認(復習)しましょう。
3次関数の正領域・負領域
例題1 次の不等式を解きましょう。
- \((x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0\)
- \(x^3 - x^2 \geqq 0\)
1. \(y = (x + 1)(x - 1)(x - 2)\) のグラフを示します。と言っても,極値などは不要です。必要なことは,\(x\) 軸との交点であり,\(x\) の値のどの範囲で \(f(x)\) が正の値をとり,また,負の値をとるか?です。したがって、因数分解された式からグラフは即座に描けます。
グラフが \(x\) 軸の上側に存在する部分ですから
\(-1 < x < 1,\ 2 < x\)
2. 不等式の左辺を因数分解すると
\(x^2(x - 1) \geqq 0\)
となるので,関数 \(y = x^2(x - 1)\) のグラフを描きます。
因数分解したときに \(x\) の指数に2乗がついているので,\(x = 0\) の前後で符号の変化は起こらず,グラフは \(x = 0\) で \(x\) 軸に接していることに注意しましょう。したがって,不等式の解は
\(x = 0,\ 1 \leqq x\)
課題2 次の不等式を解きましょう。
- \(x^3 + 2x^2 - x - 2 \leqq 0\) 解答 隠す
\(f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2\) とおくと,\(f(1) = 1 + 2 - 1 -2 = 0\) となるので,\(f(x)\) は \(x - 1\) で割り切れる。 \begin{eqnarray} x^3 + 2x^2 - x - 2 &=& (x - 1)(x^2 + 3x + 2) \\ &=& (x - 1)(x + 1)(x + 2) \end{eqnarray} したがって \((x - 1)(x
+ 1)(x + 2) \leqq 0\)
グラフより \(x \leqq -2,\quad -1 \leqq x \leqq 1\)
- \(x^3 - 2x^2 + x > 0\) 解答 隠す
\begin{array}{c} x(x^2 - 2x + 1) > 0 \\ x(x - 1)^2 > 0 \end{array}
グラフより \(0 < x < 1,\quad 1 < x\)
4次関数のグラフ(極値を3回とる場合)
例題2 \(x\) の4次関数
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2\)
について,増減を調べてグラフを描きましょう。
\(f(x)\) を微分すると
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = x^3 - x^2 - 2x \\ = x(x + 1)(x - 2)\end{array}\)
となるので,\(f'(x)\) のグラフは下のとおりです。
これより,関数 \(f(x)\) の増減表を作ると下のようになります。
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \displaystyle -\frac{5}{12}
& \nearrow & 0 & \searrow & \displaystyle -\frac{8}{3} & \nearrow \\ \hline \end{array}\)
増減表を基にグラフを作成しましょう。
4次関数のグラフ(極値を1回とる場合)
例題3 \(x\) の4次関数
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 1\)
について,増減を調べてグラフを描きましょう。
\(f(x)\) を微分すると
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = x^3 - 3x^2 \\ = x^2(x - 3)\end{array}\)
となるので,\(f'(x)\) のグラフは下のとおりです。
これより,関数 \(f(x)\) の増減表を作ると下のようになります。
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & 0 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \displaystyle 1 & \searrow & \displaystyle -\frac{23}{4}
& \nearrow \\ \hline \end{array}\)
増減表を基にグラフを作成しましょう。
\(x = 0\) で \(x\) 軸に平行な接線 \(y = 1\) をもつことに留意しましょう。
問題演習
課題3
次の関数について,増減と極値の値を調べ,グラフを描きましょう。
- \(\displaystyle f(x) = x^4 -2x^2 + 1\) 解答 隠す
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = 4x^3 - 4x \\ = 4x(x^2 - 1) \\ = 4x(x + 1)(x - 1) \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & 0 &
\nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}\)
- \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2\) 解答 隠す
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = x^3 - 5x^2 + 6x \\ = x(x^2 - 5x + 6) \\ = x(x - 2)(x - 3) \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & 0 &
\nearrow & \displaystyle \frac{8}{3} & \searrow & \displaystyle \frac{9}{4} & \nearrow \\ \hline \end{array}\)
- \(\displaystyle f(x) = 3x^4 - 4x^3\) 解答 隠す
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = 12x^3 - 12x^2 \\ = 12x^2(x - 1) \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow \\ \hline
\end{array}\)
- \(\displaystyle f(x) = -\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x^2\) 解答 隠す
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = -x^3 - x^2 + 2x \\ = -x(x^2 + x - 2) \\ = -x(x + 2)(x - 1) \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \displaystyle
\frac{8}{3} & \searrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{5}{12} & \searrow \\ \hline \end{array}\)
- \(\displaystyle f(x) = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 - 4x\) 解答 隠す
\(f'(x) \begin{array}[t]{l} = -4x^3 + 4x^2 + 4x - 4 \\ = -4(x^3 - x^2 - x + 1) \\ = -4(x - 1)^2(x + 1) \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \displaystyle \frac{11}{3} & \searrow &
\displaystyle -\frac{5}{3} & \searrow \\ \hline \end{array}\)
Last modified: Tuesday, 9 March 2021, 5:23 PM