2020/08/01 連立線形非斉次微分方程式

本日のお題

次の連立線形微分方程式の解き方を教えてください \[\left\{\begin{array}{lcc} \dot{x} = 2x - 2y + t & \cdots & ① \\[2px] \dot{y} = x + 4y - 2t & \cdots & ② \end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l} x(0) = 1 \\ y(0) = 1 \end{array}\right.\quad\cdots\quad ③\]

考え方そのものは決して難しくありませんが,非斉次であり計算が少々厄介かもしれませんね

何はともあれ,\(x\)\(y\) について解きましょう

すると\[\left\{(D - 3)^2 + 1\right\}x = 1\ ,\quad \left\{(D - 3)^2 + 1\right\}y = 5t - 2\]ですね

質問をされた方も,当然,ここはできています

式の形から,まず \(x\) について解くのが良さそうです

基本解は \(\varphi(t) = e^{3t}\cos t\)\(\psi(t) = e^{3t}\sin t\) ですが,問題は特殊解をどのように求めるかです

まぁ,未定係数法,定数変化法,微分演算子,どれを使っても労力に大差はなさそうですし,右辺が \(1\) と簡単ですから定数変化法を選択することにします

特殊解を \(x_0(t) = A(t)\,\varphi(t) + B(t)\,\psi(t)\) とおくと,ロンスキアンが \[|\,W\,| = \left|\begin{matrix} e^{3t}\cos t & e^{3t}\sin t \\ e^{3t}(3\cos t - \sin t) & e^{3t}(3\sin t + \cos t) \end{matrix}\right| = e^{6t}\] したがって \[A'(t) = -e^{-3t}\sin t\ ,\quad B'(t) = e^{-3t}\cos t\] 省エネ?のために,両方の積分を同時にやってしまいましょう \[\begin{array}{l} \displaystyle \int e^{-3t}\left(\cos t + i\sin t\right)\,dt \\[2px] \displaystyle = \int e^{-3t}\cdot e^{it} \,dt \\[2px] \displaystyle = \int e^{(-3 + i)t}\,dt \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{-3 + i}\,e^{(3 + i)t} \\[2px] \displaystyle = \frac{-3 - i}{10}\,e^{-3x}\,\left(\cos t + i\sin t\right) \\[2px] \displaystyle = \frac{e^{-3t}\left(-3\cos t + \sin t\right)}{10} + i\,\frac{e^{-3x}\left(-\cos t - 3 \sin t\right)}{10} \end{array}\] \[∴\quad \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \int e^{-3t} \cos t \,dt = \frac{e^{-3t}\left(-3\cos t + \sin t\right)}{10} \\[2px] \displaystyle \int e^{-3t} \sin t \,dt = -\frac{e^{-3x}\left(\cos t + 3 \sin t\right)}{10} \end{array}\right.\] よって \(\displaystyle A(t) = \frac{e^{-3t}\left(\cos t + 3\sin t\right)}{10}\ ,\quad B(t) = \frac{e^{-3t}\left(-3\cos t + \sin t\right)}{10}\)

故に \(\displaystyle x_0(t) = \frac{\cos^2 t + 3\sin t \cos t}{10} + \frac{-3\sin t \cos t + \sin^2 t}{10} = \frac{1}{10}\)

以上から \(\displaystyle x = C_1\, e^{3t} \cos t + C_2\, e^{3t} \sin t + \frac{1}{10}\quad \cdots \quad {④}\)

続いて \(y\) を求めますが,①から \(\displaystyle y = x - \frac{\dot{x}}{2} + \frac{1}{10} \ \cdots \ {⑤}\) となります

そこで \(\dot{x}\) を求めると \[\displaystyle \dot{x} = C_1\,e^{3t}\,(3\cos t - \sin t) + C_2\,e^{3t}\,(3\sin t + \cos t)\quad \cdots \quad {⑥}\] ④と⑥を⑤に代入して整理すると \[y = -\frac{C_1 + C_2}{2}\,e^{3t}\,\cos t + \frac{C_1 - C_2}{2}\,e^{3t}\sin t + \frac{1}{2}t + \frac{1}{10}\] \[∴\quad\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = C_1\, e^{3t} \cos t + C_2\, e^{3t} \sin t + \frac{1}{10} \\[2px] \displaystyle y = -\frac{C_1 + C_2}{2}\,e^{3t}\,\cos t + \frac{C_1 - C_2}{2}\,e^{3t}\sin t + \frac{1}{2}t + \frac{1}{10} \end{array}\right.\] 初期条件③を代入すると \(\displaystyle C_1 = \frac{9}{10},\ C_2 = -\frac{27}{10}\) \[∴\quad \left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = \frac{9}{10}\,e^{3t}\,\cos t - \frac{27}{10}\,e^{3t}\,\sin t + \frac{1}{10} \\[2px] \displaystyle y = \frac{9}{10}\,e^{3t}\,\cos t + \frac{9}{5}\,e^{3t}\,\sin t + \frac{1}{2}t + \frac{1}{10} \end{array}\right.\]

【追記】

ついでですから,\(x\) の特殊解を微分演算子でも求めておきましょう \[x_0(t) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{(D - 3)^2 +1}\,\big[\,1\,\big] \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{(D - 3 - i)(D - 3 + i)}\,\big[\,1\,\big] \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{2i}\,\left(\frac{1}{D - 3 - i} - \frac{1}{D - 3 + i}\right)\,\big[\,1\,\big] \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{1 - 3i + iD} + \frac{1}{1 + 3i - iD}\right)\,\big[\,1\,\big] \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{1 - 3i}\cdot\frac{1}{1 + \frac{i}{1 - 3i}\,D} + \frac{1}{1 + 3i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{i}{1 + 3i}\,D}\right)\,\big[\,1\,\big] \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{1 - 3i} + \frac{1}{1 + 3i}\right) \\[2px] \displaystyle =\frac{1}{2}\,\left(\frac{1 + 3i}{10} + \frac{1 - 3i}{10}\right) \\[2px] \displaystyle = \frac{1}{10} \end{array}\]

Last modified: Friday, 5 March 2021, 5:36 PM