本時の目標

  1. 原始関数と不定積分の意味を知り,不定積分の計算が微分の逆演算であることを理解する。
  2. \((x^n)' = nx^{n - 1}\) から,\(\displaystyle \int x^n \,dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C\) であることを理解する。
  3. 積分の線形性を理解し,多項式関数等の関数の不定積分を求めることができる。

原始関数と不定積分

関数 \(F(x)\)\(F'(x) = f(x)\) を満たすとき,\(F(x)\)\(f(x)\)原始関数 といいます。

例えば,\(x^2\) を微分すると \((x^2)' = 2x\) となるので,\(x^2\)\(2x\) の原始関数の一つであるといえます。「原始関数の一つである」と書いたのは,\(x^2\) 以外にも \(x^2 + 1\)\(x^2 - 1\)\(x^2 + 2\) なども \(2x\) の原始関数だからです。\(2x\) のすべての原始関数を表そうとすると

\(x^2 + C\) (\(C\) は任意の定数)

となり,この形で書かれた原始関数を \(2x\)不定積分 といいます。また,不定積分は,次の記号(「インテグラル」と読みます)を用いて表します。

\(\displaystyle \int 2x \, dx = x^2 + C\) (\(C\) は任意定数)

さらに,任意定数 \(C\)積分定数 とよびます。

課題1

これまでの微分の学習を通じて,任意の有理数 \(n\) について \((x^n)' = nx^{n - 1}\) が成り立つことを確認しました。このことを用いて \(\displaystyle \int x^n\,dx\) を求めましょう。

解答を表示する

課題2

課題1の結果を用いて,次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle \int x \,dx\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \,dx\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \int 3 \,dx\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle \int 6x^2 \,dx\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle \int x^3 \,dx\) 解答 隠す

積分の計算の線形性

微分の計算について,次の関係が成り立ちました。

\(\{c_1f(x) + c_2g(x)\}' = c_1f'(x) + c_2g'(x)\)

これより,積分の計算においても次の関係の成り立つことが分かります。

\(\displaystyle \int\{c_1f(x) + c_2g(x)\}\,dx = c_1\int f(x)\,dx + c_2\int g(x)\,dx\)

つまり,積分において次のような計算ができるということです。

\(\begin{array}{l} \displaystyle \int (3x^2 + 2x + 1)\,dx \\ \displaystyle = 3\int x^2 \,dx + 2\int x\, dx + \int 1\,dx \\ \displaystyle = 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x + C \\ = x^3 + x^2 + x + C \end{array}\)

(注)それぞれの不定積分から積分定数が出るはずですが,それらは通常一まとめにして \(C\) などの一文字で表します。

課題3

次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle \int (x^3 + x^2 + x + 1) \,dx\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \int (x^2 + 2x + 3) \,dx\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \int (x^2 + x + 1)^2 \,dx\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle \int \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \,dx\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle \int \left(\sqrt{x} - 2\right)^2 \,dx\) 解答 隠す

GeoGebra による不定積分の計算

GeoGebra を用いて不定積分を求める方法を見ておきましょう。

Integral

機 能: 関数の不定積分を求めます。
構 文: \(\mbox{Integral}\,(\)〈関数〉\()\)

\(\begin{array}{|c|l|} \hline 1 & \mbox{Integral}\,(x^3 + x^2 + x + 1) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C_1 \\ \hline 2 & \mbox{Integral}\,(x^2 + 2x + 3) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x + C_2 \\ \hline 3 & \mbox{Integral}\,((x^2 + x + 1)^2) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x^2 + x + C_3 \hspace{2em}\\ \hline 4 & \displaystyle \mbox{Integral}\,\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2\right) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{3}x^3 + 2x + C_4 - \frac{1}{x} \\ \hline 5 & \mbox{Integral}\,\left(\left(\sqrt{x} - 2\right)^2\right) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3}\sqrt{x}\,x + 4x + C_5 \\ \hline \end{array}\)

課題4

次の不定積分を求めましょう。

  1. \(\displaystyle \int (x - 1)(x - 2)(x - 3)\,dx\) 解答 隠す
  2. \(\displaystyle \int \left(x^2 - x + 1\right)^2\,dx\) 解答 隠す
  3. \(\displaystyle \int \left(x - \frac{2}{x}\right)^2\,dx\) 解答 隠す
  4. \(\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + 1\right)^2\,dx\) 解答 隠す
  5. \(\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\) 解答 隠す
  6. \(\displaystyle \int \frac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}\,dx\) 解答 隠す
  7. \(\displaystyle \int \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2\,dx\) 解答 隠す
  8. \(\displaystyle \int \left(x + 1\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)\,dx\) 解答 隠す
  9. \(\displaystyle \int \left(x + \sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\) 解答 隠す
  10. \(\displaystyle \int \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x}}\,dx\) 解答 隠す
最終更新日時: 2021年 06月 30日(水曜日) 13:43