テキスト(不定積分の計算)
本時の目標
- 原始関数と不定積分の意味を知り,不定積分の計算が微分の逆演算であることを理解する。
- \((x^n)' = nx^{n - 1}\) から,\(\displaystyle \int x^n \,dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C\) であることを理解する。
- 積分の線形性を理解し,多項式関数等の関数の不定積分を求めることができる。
原始関数と不定積分
関数 \(F(x)\) が \(F'(x) = f(x)\) を満たすとき,\(F(x)\) を \(f(x)\) の 原始関数 といいます。
例えば,\(x^2\) を微分すると \((x^2)' = 2x\) となるので,\(x^2\) は \(2x\) の原始関数の一つであるといえます。「原始関数の一つである」と書いたのは,\(x^2\) 以外にも \(x^2 + 1\) や \(x^2 - 1\) や \(x^2 + 2\) なども \(2x\) の原始関数だからです。\(2x\) のすべての原始関数を表そうとすると
\(x^2 + C\) (\(C\) は任意の定数)
となり,この形で書かれた原始関数を \(2x\) の 不定積分 といいます。また,不定積分は,次の記号(「インテグラル」と読みます)を用いて表します。
\(\displaystyle \int 2x \, dx = x^2 + C\) (\(C\) は任意定数)
さらに,任意定数 \(C\) を 積分定数 とよびます。
課題1
これまでの微分の学習を通じて,任意の有理数 \(n\) について \((x^n)' = nx^{n - 1}\) が成り立つことを確認しました。このことを用いて \(\displaystyle \int x^n\,dx\) を求めましょう。
課題2
課題1の結果を用いて,次の不定積分を求めましょう。
積分の計算の線形性
微分の計算について,次の関係が成り立ちました。
\(\{c_1f(x) + c_2g(x)\}' = c_1f'(x) + c_2g'(x)\)
これより,積分の計算においても次の関係の成り立つことが分かります。
\(\displaystyle \int\{c_1f(x) + c_2g(x)\}\,dx = c_1\int f(x)\,dx + c_2\int g(x)\,dx\)
つまり,積分において次のような計算ができるということです。
\(\begin{array}{l} \displaystyle \int (3x^2 + 2x + 1)\,dx \\ \displaystyle = 3\int x^2 \,dx + 2\int x\, dx + \int 1\,dx \\ \displaystyle = 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x + C \\ = x^3 + x^2 + x + C \end{array}\)
(注)それぞれの不定積分から積分定数が出るはずですが,それらは通常一まとめにして \(C\) などの一文字で表します。
課題3
次の不定積分を求めましょう。
GeoGebra による不定積分の計算
GeoGebra を用いて不定積分を求める方法を見ておきましょう。
Integral
機 能: | 関数の不定積分を求めます。 |
構 文: | \(\mbox{Integral}\,(\)〈関数〉\()\) |
\(\begin{array}{|c|l|} \hline 1 & \mbox{Integral}\,(x^3 + x^2 + x + 1) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C_1 \\ \hline 2 & \mbox{Integral}\,(x^2 + 2x + 3) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x + C_2 \\ \hline 3 & \mbox{Integral}\,((x^2 + x + 1)^2) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x^2 + x + C_3 \hspace{2em}\\ \hline 4 & \displaystyle \mbox{Integral}\,\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2\right) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{3}x^3 + 2x + C_4 - \frac{1}{x} \\ \hline 5 & \mbox{Integral}\,\left(\left(\sqrt{x} - 2\right)^2\right) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3}\sqrt{x}\,x + 4x + C_5 \\ \hline \end{array}\)
課題4
次の不定積分を求めましょう。
- \(\displaystyle \int (x - 1)(x - 2)(x - 3)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(x^2 - x + 1\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(x - \frac{2}{x}\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + 1\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \frac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(x + 1\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \left(x + \sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x}}\,dx\) 解答 隠す