テキスト(定積分の計算)
本時の目標
- 定積分の定義を理解し,多項式関数等について定積分の値を求めることができる。
定積分の計算
定積分の定義
関数 \(f(x)\) の原始関数の1つを \(F(x)\) とするとき
\(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)\)
を関数 \(f(x)\) の \(a\) から \(b\) までの 定積分 といいます。また,\(b\) を積分の上端,\(a\) を積分の下端といいます。
例題1
定積分 \(\displaystyle \int_1^2 x^2 \,dx\) の値を求めましょう。
\(\displaystyle \int_1^2 x^2 \,dx\begin{array}[t]{l} \displaystyle = \left[\frac{1}{3}x^3 \right]_1^2 \\ \displaystyle = \frac{1}{3}\cdot 2^3 - \frac{1}{3}\cdot 1^3 \\ \displaystyle = \frac{7}{3} \end{array}\)
例題2
定積分 \(\displaystyle \int_1^3 \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \,dx\) の値を求めましょう。
\(\begin{array}[t]{l} \displaystyle \int_1^3 \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \,dx \\ \displaystyle = \int_1^3 \left(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\right) \,dx \\ \displaystyle = \left[\frac{1}{3}x^3 + 2x - \frac{1}{x}\right]_1^3 \\ \displaystyle = \left(\frac{1}{3}\cdot 3^3 + 2 \cdot 3 - \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 - \frac{1}{1}\right) \\ \displaystyle = \frac{40}{3} \end{array}\)
例題3
定積分 \(\displaystyle \int_0^1 \left(2 - \sqrt{x}\right)^2 \,dx\) の値を求めましょう。
\(\begin{array}{l} \displaystyle \int_0^1 \left(2 - \sqrt{x}\right)^2 \,dx \\ \displaystyle = \int_0^1 \left(4 - 4\sqrt{x} + x\right) \,dx \\ \displaystyle = \left[4x - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + \frac{1}{2}x^2\right]_0^1 \\ \displaystyle = 4 - \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \\ \displaystyle = \frac{11}{6} \end{array}\)
定積分の性質
定積分に関して次のことが成り立ちます。
- \(\displaystyle \int_a^a f(x) \,dx = 0\)
- \(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx\)
- \(\displaystyle \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx\)
GeoGebra による定積分の計算
GeoGebra を用いて定積分の値を求める方法を見ておきましょう。不定積分と同じく \(\mbox{Integral}\) を用います。不定積分と異なる点は,関数を記述した後,積分変数と積分する区間を書き加えるところです。
Integral
機 能: | 関数の定積分の値を求めます。 |
構 文: | \(\mbox{Integral}\,(\)〈関数〉\(,\)〈変数〉\(,\)〈下端〉\(,\)〈上端〉\()\) |
\(\begin{array}{|c|l|} \hline 1 & \mbox{Integral}\,\left(\,x^2,\ x,\ 1,\ 2\,\right) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{7}{3} \\ \hline 2 & \displaystyle \mbox{Integral}\,\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2,\ x,\ 1,\ 3\right) \hspace{5em}\\ & \displaystyle \rightarrow \frac{40}{3} \\ \hline 3 & \mbox{Integral}\,\left(\left(2 - \sqrt{x}\right)^2,\ x,\ 0, 1\right) \\ & \displaystyle \rightarrow \frac{11}{6}\\ \hline \end{array}\)
課題1
次の定積分の値を求めましょう。
- \(\displaystyle \int_0^2 (x - 1)(x - 2)(x - 3)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_{-1}^1 \left(x^2 - x + 1\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^3 \left(x - \frac{2}{x}\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^4 \left(\sqrt{x} + 1\right)^2\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^4 \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^4 \frac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^2 \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_0^1 \left(x + 1\right)\left(\sqrt{x} + 1\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^4 \left(x + \sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx\) 解答 隠す
- \(\displaystyle \int_1^8 \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x}}\,dx\) 解答 隠す