全微分
本日のお題
次のことを確認し理解します。
関数 \(f(x,\ y)\) について,領域 \(D\) において \(x\) と \(y\) で偏微分可能であり,偏導関数 \(f_x(x,\ y)\) と \(f_y(x,\ y)\)が連続ならば,\(f(x,\ y)\) は \(D\) で全微分可能である。
今日は,前回の積み残しを解消しましょう。前回,\(x\) と \(y\) の関数 \(f(x,\ y)\) について,ある点で全微分可能ならばその点で偏微分可能であることを確認し,全微分可能な点 \((x_0,\ y_0)\) における接平面の方程式が \[z = f(x_0,\ y_0) + f_x(x_0,\ y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0)\] であることが分かりました。ところが,逆に \(x\) と \(y\) の両方について偏微分可能であっても,全微分が可能であるとは限りらないということでした。そこで,今回は全微分が可能であるための十分条件の1つを示します。
全微分可能の十分条件
次の条件が,全微分可能の根拠によく使われます。
関数 \(f(x,\ y)\) について,ある領域 \(D\) で2つの偏導関数 \(f_x(x,\ y)\) と \(f_y(x,\ y)\) が存在しかつ連続ならば,\(f(x,\ y)\) は \(D\) で全微分可能である。
確認しましょう。
点 \((x,\ y)\) と \((x_0,\ y_0)\) は領域 \(D\) 内にあるとします。\(y = y_0\) として \(f(x,\ y_0)\) を \(x\) の関数とみなすと,\(f(x,\ y_0)\) は微分可能ですから \[\begin{eqnarray*} && f(x,\ y_0) = f(x_0,\ y_0) + f_x(x_0,\ y_0)(x - x_0) + g(x) \tag{3.1}\\[2px] && \lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{x - x_0} = 0 \tag{3.2} \end{eqnarray*}\] が成り立ちます。
次に,\(f(x,\ y)\) を \(y\) の関数とみなして平均値の定理を使うと \[f_y(x,\ c) = \frac{f(x,\ y) - f(x,\ y_0)}{y - y_0}\] を満たす \(c\) が \(y_0\) と \(y\) の間に存在します。よって \[f(x,\ y) - f(x,\ y_0) = f_y(x,\ c)(y - y_0) \tag{3.3}\] ここで,\((3.1)\) と \((3.3)\) の両辺を加えます。 \[\begin{eqnarray*} f(x,\ y) &=& f(x_0,\ y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) \\ && \hspace{3em}+ f_y(x,\ c)(y - y_0) + g(x) \\[2px] &=& f(x_0,\ y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0) \\ && \hspace{3em} + f_y(x,\ c)(y - y_0) - f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0) + g(x) \\[2px] &=& f(x_0,\ y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0) \\ && \hspace{3em} + \left\{f_y(x,\ c) - f_y(x_0,\ y_0)\right\}(y - y_0) + g(x) \\[2px] \end{eqnarray*}\]
微分積分ではよく使う手です。同じ項を足して引いて\(\cdots\)接平面の式の形に近づけました。したがって,後半の誤差に当たる部分について \[\lim_{(x,\ y) \to (x_0,\ y_0)}\frac{\left\{f_y(x,\ c) - f_y(x_0,\ y_0)\right\}(y - y_0) + g(x)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} \tag{3.4}\] が成り立てば,\(f(x,\ y)\) が \((x_0,\ y_0)\) で全微分可能だと示すことができます。
\((x,\ y) \to (x_0,\ y_0)\) のとき \(c \to y_0\) であり,\(f_y(x,\ y)\) は \(D\) で連続ですから \[\lim_{(x,\ y) \to (x_0,\ y_0)}\left\{f_y(x,\ c) - f_y(x_0,\ y_0)\right\} = 0\] です。そして,\(\displaystyle \frac{|\,y - y_0\,|}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} < 1\) だから \[\lim_{(x,\ y) \to (x,\ y_0)}\frac{\left\{f_y(x,\ c) - f_y(x_0,\ y_0)\right\}(y - y_0)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} = 0 \tag{3.5}\] さらに \(\displaystyle \frac{g(x)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} < \frac{g(x)}{|\,x - x_0\,|}\) と \((3.2)\) から \[\lim_{(x,\ y) \to (x_0,\ y_0)}\frac{g(x)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} = 0 \tag{3.6}\] \((3.5)\) と \((3.6)\) から \((3.4)\) が成り立ち,\(f(x,\ y)\) が \((x_0,\ y_0)\) で全微分可能であることが示されました。\((x_0,\ y_0)\) は \(D\) 内の任意の点にとりましたから,\(f(x,\ y)\) は領域 \(D\) で全微分可能です。
全微分
関数 \(f(x,\ y)\) が \(x_0,\ y_0\) で全微分可能であれば,この点での接平面の方程式は \[z - f(x_0,\ y_0) = f_x(x_0,\ y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0)\] で表されます。\(x - x_0 = dx\),\(y - y_0 = dy\),\(z - f(x_0,\ y_0) = dz\) と座標変換し,\(f_x(x_0,\ y_0)\) と \(f_y(x_0,\ y_0)\) をそれぞれ \(f_x(x,\ y)\) と \(f_y(x,\ y)\) に書き換えた式 \[dz = f_x(x,\ y)\,dx + f_y(x, \ y)\,dy\] を \(f(x,\ y)\) の 全微分 といいます。
課題3-1 次の関数の全微分を求めましょう。