連鎖率(2変数合成関数の微分)
本日のお題
- 2変数関数の偏微分に関する連鎖率を確認し,理解します。
- 連鎖率を用いて,合成関数の偏微分を行います。
1変数関数について,例えば \(f(x) = (x^2 + x + 1)^3\) を微分する場合 \[\begin{eqnarray*} f'(x) &=& 3(x^2 + x + 1)^2 \cdot (x^2 + x + 1)' \\[2px] &=& 3(2x + 1)(x^2 + x + 1)^2 \end{eqnarray*}\] と計算しました。これは,合成関数に関して次の連鎖率が成り立つことを利用しています。
連鎖率
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
本時は,2変数関数の場合に合成関数の偏導関数がどのようになるかを見ていきます。 つまり,関数 \(f(x,\ y)\) において \[x = u(s,\ t)\ ,\quad y = v(s,\ t)\] として,\(f(u(s,\ t),v(s,\ t))\) の \(s\),\(t\) による偏導関数を求めます。
まずは,結論から・・・
2変数関数の連鎖率
\(f(x,\ y)\) が全微分可能であり,\(x = u(s,\ t)\) と \(y = v(s,\ t)\) とが \(s\) と \(t\) の関数として偏微分可能ならば,\(z = f(v(s,\ t),\ u(s,\ t))\) は \(s\) と \(t\) の関数として偏微分可能であり,次が成り立つ。 \[\left\{\begin{array}{lcc} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial s} && (5.1) \\[2px] \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} && (5.2) \end{array}\right.\]
確かめましょう。 \[x_0 = u(s_0,\ t_0)\ ,\quad y_0 = v(s_0,\ t_0)\] とします。\(f(x,\ y)\) は全微分可能ですから \[\begin{eqnarray*} && f(x,\ y) - f(x_0,\ y_0) = f_x(x_0,\ y_0)(x - x_0) \\ && \hspace{10em} + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0) + g(x,\ y) \tag{5.3}\\[2px] && \lim_{(x,\ y) \to (x_0,\ y_0)}\frac{g(x,\ y)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} = 0 \end{eqnarray*}\] が成り立っています。
\((5.1)\) からいきます。\((5.3)\) より \[\begin{eqnarray*} && \frac{f(x,\ y) - f(x_0,\ y_0)}{s - s_0} \\ &=& f_x(x_0,\ y_0)\frac{x - x_0}{s - s_0} + f_y(x_0,\ y_0)\frac{y - y_0}{s - s_0} + \frac{g(x,\ y)}{s - s_0} \end{eqnarray*}\] \(t = t_0\) として,\(s \to s_0\) の極限をとります。すると,\(x = u(s,\ t)\) と \(y = v(s,\ t)\) は偏微分可能なので \[\frac{x - x_0}{s - s_0} \to \frac{\partial x}{\partial s}(s_0,\ t_0)\ ,\quad \frac{y - y_0}{s - s_0} \to \frac{\partial y}{\partial s}(s_0,\ t_0)\] となります。さらに \[\begin{eqnarray*} && \frac{g(x,\ y)}{s - s_0} \\ &=& \frac{g(x,\ y)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} \cdot \frac{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}}{s - s_0} \\ &=& \frac{g(x,\ y)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} \cdot \sqrt{\left(\frac{x - x_0}{s - s_0}\right)^2 + \left(\frac{y - y_0}{s - s_0}\right)^2} \end{eqnarray*}\] ですから,\(\displaystyle \lim_{s \to s_0}\frac{g(x,\ y)}{s - s_0} = 0\) を示すことができ,\(\displaystyle \lim_{s - s_0}\frac{f(x,\ y) - f(x_0,\ y_0)}{s - s_0}\) が存在して \[z_s(s_0,\ t_0) = f_x(x_0,\ y_0) \cdot x_s(s_0,\ t_0) + f_y(x_0,\ y_0) \cdot y_s(s_0,\ t_0)\] であることが分かります。したがって,\((5.1)\) が成り立ちます。
\((5.2)\) が成り立つことについても同様に示すことができます。
どのように使うのか?…というと
例題5-1
\[f(x,\ y) = \frac{xy}{x + y}\ ,\quad x = a\cos\theta\ ,\quad y = a\sin\theta\] のとき,\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial a}\) と \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta}\) を求めましょう。
解 答
\[\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial a} &=& \frac{y(x + y) - xy}{(x + y)^2} \cdot \cos\theta + \frac{x(x + y) - xy}{(x + y)^2} \cdot \sin\theta \\ &=& \frac{y^2 \cos\theta + x^2 \sin\theta}{(x + y)^2} \\[2px] \frac{\partial f}{\partial \theta} &=& \frac{y(x + y) - xy}{(x + y)^2} \cdot (-a\sin\theta) + \frac{x(x + y) - xy}{(x + y)^2} \cdot a\cos\theta \\ &=& \frac{-a y^2 \sin\theta + a x^2 \cos\theta}{(x + y)^2} \\[2px] \end{eqnarray*}\]
それでは練習です。
課題5-1
次の2変数関数 \(f(x,\ y)\) について,連鎖率を用いて偏導関数 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial s}\) と \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}\) を求めましょう。