本日のお題

2変数関数 \(f(x,\ y)\) について,2次のテイラー多項式を求めます。

微分とは何であるか? という問いにザックリと答えますと

1変数関数であれば,ある点(例えば \(x_0\))の近くでの \(f(x)\) の値を接線の式で近似すること
2変数関数であれば,ある点(例えば \((x_0,\ y_0)\))の近くでの \(f(x,\ y)\) の値を接平面の式で近似すること

と言えます。ただし,近似の精度は状況にもよりますが,\(x_0\) ないし \((x_0,\ y_0)\) のごく近くでしか保たれません。

1変数関数に対しては,2次近次,3次近似と次数を上げることで,近似の精度を上げることができました。図形的には,関数のグラフに接する2次関数や3次関数のグラフを考えるということです。このことを保証するのが テイラーの定理 でした。

2変数関数についても,接平面の代わりに \(x\)\(y\) の2次式で表される接曲面を求めれば,より精度の高い近似式になると考えられます。

2変数関数のテイラー多項式

今,関数 \(f(x,\ y)\) は領域 \(D\)\(n\) 階偏微分可能であるとします。平均値の定理の証明に倣って \[(s,\ t) = (x_0,\ y_0) + u(x - x_0,\ y - y_0)\quad(0 \leqq u \leqq 1)\] として,関数 \(\phi(x) = f(s,\ t)\) を考えます。

\(\phi(u)\)\(0 \leqq u \leqq 1\)\(n\) 階微分可能ですから,\(u = 0\) の周りでテイラーの定理(マクローリンの定理)を用いると \[\begin{eqnarray*} \phi(u) &=& \phi(0) + \phi'(0)u + \frac{1}{2}\phi''(0)u^2 + \cdots \\ && \hspace{5em} \cdots + \frac{\phi^{(n-1)}(0)u^{n - 1}}{(n - 1)!} + \frac{\phi^{n}(c)u^n}{n!} \end{eqnarray*}\] となる \(c\)\(0 < c < 1\) に存在します。ここで,\(u = 1\) とすると \[\begin{eqnarray*} \phi(1) &=& \phi(0) + \phi'(0) + \frac{1}{2}\phi''(0) + \cdots \\ && \hspace{5em} \cdots + \frac{\phi^{(n-1)}(0)}{(n - 1)!} + \frac{\phi^{n}(c)}{n!} \end{eqnarray*}\]です。

当面,2次式で近似することを考えたいので,2次で留めると \[\phi(1) = \phi(0) + \phi'(0) + \frac{1}{2}\phi''(0) + \frac{\phi'''(c)}{3!}\] となります。\(f(x,\ y)\)\(n\) 階偏微分が可能な関数ですから,2次導関数はそれぞれ連続であることに注意すると \[\begin{array}{l} \phi(u) = f(s,\ t) \\ \quad ∴ \quad \phi(0) = f(x_0,\ y_0) \\[2px] \phi'(u) = f_x(s,\ t)(x - x_0) + f_y(s,\ t)(y - y_0) \\ \quad ∴ \quad \phi'(0) = f_x(x_0,\ y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0) \\[2px] \phi''(u) \begin{array}[t]{l} = f_{xx}(s,\ t)(x - x_0)^2 + f_{xy}(s,\ t)(y - y_0)(x - x_0) \\ \hspace{1em} + f_{yx}(s,\ t)(x - x_0)(y - y_0) + f_{yy}(s,\ t)(y - y_0)^2 \\ = f_{xx}(s,\ t)(x - x_0)^2 + 2f_{xy}(s,\ t)(x - x_0)(y - y_0) \\ \hspace{1em} + f_{yy}(s,\ t)(y - y_0)^2 \end{array} \\ \quad ∴ \quad \phi''(0) = \begin{array}[t]{l} f_{xx}(x_0,\ y_0)(x - x_0)^2 + 2f_{xy}(x_0,\ y_0)(x - x_0)(y - y_0) \\ + f_{yy}(x_0,\ y_0)(y - y_0)^2 \end{array} \end{array}\] 以上から \[\begin{eqnarray*} f(x,\ y) &=& f(x_0,\ y_0) \\ && + f_x(x_0,\ y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,\ y_0)(y - y_0) \\ && + \frac{1}{2}\Bigg\{f_{xx}(x_0,\ y_0)(x - x_0)^2 \\ && \hspace{2em} + 2f_{xy}(x_0,\ y_0)(x - x_0)(y - y_0) \\ && \hspace{4em} + f_{yy}(x_0,\ y_0)(y - y_0)^2 \Bigg\} \\ && + \frac{\phi'''(c)}{3!} \tag{7.1} \end{eqnarray*}\] ん~!!,ここまでで,すでに随分長い式になってしまいました。実は,これを簡潔に書く工夫があります。

\(x - x_0 = h\ ,\quad y - y_0 = k\) として,演算子 \(\displaystyle h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\) を導入します。この演算子の累乗については \[\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 = h^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} + 2hk\frac{\partial}{\partial x}\cdot\frac{\partial}{\partial y} + k^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}\] 等が成り立つものとします。すると,\((7.1)\) は次のようになります。 \[\begin{eqnarray*} f(x,\ y) &=& \left\{1 + \left(h\frac{\partial}{\partial x}+ k\frac{\partial}{\partial y}\right) + \frac{1}{2}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2\right\}f(x_0,\ y_0) \\ && \hspace{1em} + \frac{\phi'''(c)}{3!} \end{eqnarray*}\] そして,次の式を\(f(x,\ y)\) の2次のテイラー多項式といいます。 \[f(x,\ y) = \left\{1 + \left(h\frac{\partial}{\partial x}+ k\frac{\partial}{\partial y}\right) + \frac{1}{2}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2\right\}f(x_0,\ y_0)\] 本来は,\((x_0,\ y_0)\) の近くで \(\displaystyle \frac{\phi'''(c)}{3!}\)\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2\) に対して無視できることを示さなければならないのですが,ここでは割愛させていただきます。

例題7-1

関数 \(\displaystyle f(x,\ y) = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1}\) について,\((0,\ 0)\) 周りの2次のテイラー多項式を求めましょう。

解 答

\(\begin{array}{l} \displaystyle f(x,\ y) = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} \\ \displaystyle f_x(x,\ y) = -\frac{2x}{(x^2 + y^2 + 1)^2}\ ,\quad f_y(x,\ y) = -\frac{2y}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \\ \displaystyle f_{xx}(x,\ y) = \frac{2(3x^2 - y^2 - 1)}{(x^2 + y^2 + 1)^3}\ ,\quad f_{yy}(x,\ y) = \frac{2(-x^2 + 3y^2 - 1)}{(x^2 + y^2 + 1)^3} \\ \displaystyle f_{xy}(x,\ y) = \frac{8xy}{(x^2 + y^2 + 1)^3} \\ ∴\quad \left\{ \begin{array}{lll} f(0,\ 0) = 1, & f_x(0,\ 0) = 0, & f_y(0,\ 0) = 0\ \\ \ f_{xx}(0,\ 0) = -2, & f_{xy}(0,\ 0) = 0, & f_{yy}(0,\ 0) = -2 \end{array}\right. \end{array}\)

よって,\((0,\ 0)\) 周りの2次のテイラー多項式は \[\begin{eqnarray*} z &=& 1 + 0\cdot x + 0\cdot y + \frac{1}{2}\left(- 2\cdot x^2 + 2\cdot 0\cdot xy - 2\cdot y^2\right)& \\[2px] ∴\quad z &=& 1 - x^2 - y^2 & \end{eqnarray*}\]

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 16:12