本日のお題

  1. 重積分 \(\displaystyle \int\hspace{-12px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy\) の定義を理解します。
  2. 重積分 \(\displaystyle \int\hspace{-12px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy\) が累次積分で表されることを理解して,その値を求められるようになります。

重積分の定義

今回から,2変数の関数の積分(重積分)を扱います。まずは,領域 \(D\) で定義される関数 \(f(x,\ y)\) の重積分 \[\int\!\!\!\!\int_D f(x,\ y)\,dxdy\] を定義しましょう。関数 \(f(x,\ y)\) のグラフが下図のようになっているとします。図では定義域が \[D = \left\{(x,\ y)|-1 \leqq x \leqq 1\ ,\, -1 \leqq y \leqq 1\right\}\] となっていますが,これはどのような領域であっても構いません。 まず,定義域である \(D\) を 重なり合わない部分集合に \(n\) 分割します。ここでは,話しを分かりやすくするために,図中の緑色線のように \(x\) 軸と \(y\) 軸に平行な線で分割することを考えましょう。ただし,等分割である必要はありません。

\(D\) を分割した長方形に番号 \(i = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\) を付け,\(i\) 番目の長方形の面積を \(\Delta A_i\) とします。点 \((x_i,\ y_i)\)\(i\) 番目の長方形に含まれるものとして \[\sum_{i = 1}^n f(x_i,\ y_i)\,\Delta A_i \tag{9.1}\] を考えます。\(f(x_i,\ y_i)\,\Delta A_i\) の1つずつは下図中の四角柱1本1本の体積であり,上の式は柱の体積の和を表します。 この和が \(\Delta A_i \to 0\) のときに収束するならば,その極限値を \(\displaystyle \int\!\!\!\!\int_D f(x,\ y)\,dxdy\) の値として定義します。したがって,重積分の値は,\(xy\) 平面とグラフで囲まれた立体の符号付き体積を表します。

累次積分

次に,重積分の値を求める際に,具体的にどのような計算をするかを見ていきましょう。下の図を見てください。 まず,\(x\) 軸方向には固定して,\(y\) の向きに分割した長方形上にできる四角柱の体積を加えます。
次に,こうしてできた四角柱の体積の和を \(x\) 軸の方向に足していきます。すると,\((9.1)\) の和が出来上がります。したがって \[\int\hspace{-12px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy = \int_a^b\left\{\int_c^d f(x,\ y)\,dy\right\}dx \tag{9.2}\] となること分かります。ここで問題になるのは,領域 \(D\) が長方形であるとは限らないことです。

領域 \(D\) が長方形以外のとき,例えば,下のような図形になる場合 \(y\) のとり得る値の範囲は \(\psi(x) \leqq y \leqq \phi(x)\) ですから \((9.2)\) は次のようになります。 \[\int\hspace{-12px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy = \int_a^b\left\{\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} f(x,\ y)\,dy\right\}dx\] このことは,\(x\)\(y\) の順番を変えても成り立ちます。これらを 累次積分 といいます。

例題9-1 次の重積分の値を求めましょう。

\[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I = \int\hspace{-12px}\int_D (2 - x - 2y)\,dxdy \\[2px] D = \big\{(x,\ y)\,|\, x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ x + 2y \leqq 2\big\} \end{array}\right.\]

解 答

まず,関数が定義されている領域 \(D\) から調べましょう。 したがって,\(I\) を累次積分すると \[\begin{eqnarray*} I &=& \int_0^2\left\{\int_0^{1 - \frac{1}{2}x}\left(2 - x - 2y\right)\,dy\right\}\,dx \\ &=& \int_0^2 \Big[(2 - x)y - y^2\Big]_0^{1 - \frac{1}{2}x}\,dx \\ &=& \int_0^2 \left\{2\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^2 - \left(1 - \frac{1}{2}x\right)^2\right\}\,dx \\ &=& \int_0^2\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^2\,dx \\ &=& \left[\frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^3 \cdot (-2)\right]_0^2 \\ &=& \frac{2}{3} \end{eqnarray*}\] ところで,関数 \(f(x,\ y) = 2 - x - 2y\) のグラフは下図のようになります。 よって,上で求めた重積分の値は,図において \(xy\) 平面,\(yz\) 平面,\(zx\) 平面と \(f(x,\ y)\) のグラフで囲まれる三角錐の体積を求めたことになります。

課題9-1 次の重積分の値を求めましょう。

1. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_1 = \int\hspace{-12px}\int_D 12xy\,dxdy \\ D = \big\{(x,\ y)\,|\,0 \leqq x \leqq 1,\ x^2 \leqq y \leqq \sqrt{x}\big\} \end{array}\right.\) 解答 隠す

2. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_2 = \int\hspace{-12px}\int_D 3xy\,dxdy \\ D = \big\{(x,\ y)\,|\,0 \leqq y \leqq 1,\ 2x - 4 \leqq y \leqq 2x\big\} \end{array}\right.\) 解答 隠す

3. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_3 = \int\hspace{-12px}\int_D e^{x + y}\,dxdy \\ D = \big\{(x,\ y)\,|\,y \geqq 0,\ 2x - 2 \leqq y \leqq x\big\} \end{array}\right.\) 解答 隠す

4. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_4 = \int\hspace{-12px}\int_D (6 - x - y)\,dxdy \\ \displaystyle D = \left\{(x,\ y)\,|\,\frac{1}{2}x \leqq y \leqq \frac{1}{2}x +\frac{3}{2},\ 2x - 3 \leqq y \leqq 2x\right\} \end{array}\right.\) 解答 隠す

5. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_5 = \int\hspace{-12px}\int_D x^2 y\,dxdy \\ \displaystyle D = \left\{(x,\ y)\,|\,-2x \leqq y \leqq -2x + 5,\ x \leqq 2y \leqq x + 5\right\} \end{array}\right.\) 解答 隠す

6. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle I_6 = \int\hspace{-12px}\int_D (x^2 - y^2 + 1)\,dxdy \\ \displaystyle D = \left\{(x,\ y)\,|\,y \geqq 0,\ y \leqq 2x,\ y \leqq -2x + 4\right\} \end{array}\right.\) 解答 隠す

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 16:19