本日のお題

重積分について,変数変換 \(x = \phi(u,\ v)\)\(y = \psi(u,\ v)\) により \[\int\hspace{-9px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy = \int\hspace{-9px}\int_{D'} f(\phi(u,\ v),\ \psi(u,\ v))\cdot |\,J\,|\,dudv\] の成り立つことを確認し,これを用いた重積分の計算ができるようになります。

ここまで重積分について
   線形変換  \(x = au + bv\ ,\ y = cu + dv\)
   極座標変換 \(x = r\cos\theta\ ,\ y = r\sin\theta\)
について見てきました。工学系の方であれば,取り敢えずはこの2つで何とかなるのではないかと予想します。ただ,一般の変数変換 \[x = \phi(u,\ v)\ ,\ y = \psi(u,\ v)\] についても,この変数変換のヤコビアンを \(J\) とすると

\[\int\hspace{-9px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy = \int\hspace{-9px}\int_{D'} f(\phi(u,\ v),\ \psi(u,\ v))\cdot |\,J\,|\,dudv\]

の成り立つことを紹介しましたので,今日はこのことを確認します。例によって,厳密な証明には程遠い,何となく雰囲気が分かる(?)という説明です。f^^;

変数変換 \(x = \phi(u,\ v)\ ,\ y = \psi(u,\ v)\)

考え方は線形変換の場合とほぼ同じです。まず,被積分関数である \(f(x,\ y)\) に「連続関数」という条件を付けます。まぁ,これまでもあまり気にすることなく,当然連続である…かのうよう扱っていますのでそのままの感覚でいきましょう。

次に,変数変換 \[x = \phi(u,\ v)\ ,\ y = \psi(u,\ v) \tag{12.1}\] を考えるのですが,この変数変換にも幾つかの条件を付けます。

  • \(\phi(u,\ v)\)\(\psi(u,\ v)\) ともに偏微分が1階可能です。
  • さらに,偏導関数が連続です。
  • \(\phi(u,\ v)\)\(\psi(u,\ v)\) ともに全単射です。つまり,\((x,\ y)\)\((u,\ v)\) のすべてが1対1に対応しています。

この条件の下で,辺の長さが \(\Delta x\)\(\Delta y\) の矩形ががどのような図形に写されるかを考えます。 \((x,\ y)\)\((u,\ v)\)\(\phi(u,\ v)\)\(\psi(u,\ v)\) により1対1に対応していますから \[x = \phi(u,\ v)\ ,\quad x + \Delta x = \phi(u + \Delta u,\ v + \Delta v)\] を満たす \(u\)\(v\)\(\Delta v\)\(\Delta u\) が1つだけ存在します。 \[\begin{eqnarray*} \Delta x &=& \phi(u + \Delta u,\ v + \Delta v) - \phi(u,\ v) \\[2px] &=& \phi(u + \Delta u,\ v + \Delta v) - \phi(u,\ v + \Delta v) \\ && \hspace{6em} + \phi(u,\ v + \Delta v) - \phi(u,\ v) \\[2px] &=& \frac{\phi(u + \Delta u,\ v + \Delta v) - \phi(u,\ v + \Delta v)}{\Delta u}\cdot\Delta u \\ && \hspace{6em}+ \frac{\phi(u,\ v + \Delta v) - \phi(u,\ v)}{\Delta v}\cdot \Delta v \end{eqnarray*}\] \(\phi(u,\ v)\) は連続な1対1対応ですから,\(\Delta x \to 0\) のとき \(\Delta u \to 0\) かつ \(\Delta v \to 0\) です。したがって \[dx = \phi_u(u,\ v)\,du + \phi_v(u,\ v)\,dv\] が成り立つことが分かります。同様にして \[dy = \psi_u(u,\ v)\,du + \psi_v(u,\ v)\,dv\] も成り立ち \(\left(\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \phi_u(u,\ v) & \phi_v(u,\ v) \\ \psi_u(u,\ v) & \psi_v(u,\ v) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} du \\ dv \end{array}\right)\) となります。これは,\(dxdy\) 局所座標系から \(dudv\) 局所座標系に写されるとき \[\left(\begin{array}{c} \phi_u(u,\ v) \\ \psi_u(u,\ v) \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)\ ,\quad \left(\begin{array}{c} \phi_v(u,\ v) \\ \psi_v(u,\ v) \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\] が対応していることを意味します。したがって, \[J = \left|\,\begin{array}{cc} \phi_u(u,\ v) & \phi_v(u,\ v) \\ \psi_u(u,\ v) & \psi_v(u,\ v) \end{array}\,\right|\] として,積分領域は変数変換 \((12.1)\) により各点で局所的に面積が \(1/|\,J\,|\) に写されます。これを元の面積に戻すためには \(dxdy = |\,J\,|\,dudv\) とすれば良いということです。以上から,次が示されました。

\[\int\hspace{-9px}\int_D f(x,\ y)\,dxdy = \int\hspace{-9px}\int_{D'} f(\phi(u,\ v),\ \psi(u,\ v))\cdot |\,J\,|\,dudv\]

例題12-1

領域 \(D\)\(D = \big\{(x,\ y)\,|\, x^2 + 4y^2 \leqq 4\big\}\) であるとき,次の重積分の値を求めましょう。 \[I = \int\hspace{-9px}\int_D \left(x^2 + y^2\right)\,dxdy\]

解 答

\(x = 2r\cos\theta\ ,\ y = r\sin\theta\) とおくと,領域 \(D\)\[\big\{(r,\ \theta)\,|\,0 \leqq r \leqq 1\ ,\ 0 \leqq \theta \leqq 2\pi\big\}\] に写ります。また \[J = \left|\begin{array}{cc} 2\cos\theta & -2r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{array}\right| = 2r\cos^2\theta + 2r\sin^2\theta = 2r\] したがって \[\begin{eqnarray*} I &=& \int_0^1 \hspace{-4px} \int_0^{2\pi}\left(4r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta\right)\cdot 2r\,d\theta dr \\[2px] &=& 2\int_0^1 r^3\,dr \cdot \int_0^{2\pi}\left(4\cos^2\theta + \sin^2\theta\right)\,d\theta \\[2px] &=& 2\left[\frac{1}{4}r^4\right]_0^1 \cdot \int_0^{2\pi}\left(2 + 2\cos 2\theta + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta \\[2px] &=& \frac{1}{2}\cdot 5\pi \\[2px] &=& \frac{5\pi}{2} \end{eqnarray*}\]

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 16:41