本日のお題

運動方程式を微分方程式と捉えることによって,微分方程式がどのようなものか,なぜ微分方程式を解くことが必要かを理解します。

運動方程式

この講座の学習は,まず,物理の簡単な問題から始めましょう。

例題1

質量 \(m\) の物体を,地上から鉛直上方に初速 \(v_0\) で打ち上げます。この物体が到達する最高点の高さ \(H\)と,再び地上に戻るまでの時間 \(T\) とを求めましょう。

なお,物体は回転することなく,空気抵抗などの物体にかかる力は重力を除いて無視することができるものとします。また,重力加速度定数は \(g\) とします。

考え方

\(mg\)

物体にかかる力は重力だけですから,この物体の加速度を \(a\) とすると,次の運動方程式が成り立ちます。\[\begin{eqnarray*} ma &=& -mg \\ \mbox{∴}\quad a &=& -g \tag{1} \end{eqnarray*}\]これから,物体の速度と地上からの位置を,それぞれ \(v\)\(x\) とすれば\[\begin{eqnarray*} v &=& -gt + v_0 \tag{2}\\ x &=& -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t \tag{3}\end{eqnarray*}\]が成り立ちます。あとは,(2) を使えば\[v = -g\left(t - \frac{v_0}{g}\right)\]ですから,最高点に到達するまでの時間が \(\displaystyle t = \frac{v_0}{g}\) であり,(3) に代入して最高到達点の高さ \(\displaystyle H = \frac{v_0\!^2}{2g}\) が得られます。また,再び地上に戻るまでの時間は,最高到達点に達するまでの時間の2倍ですから \(\displaystyle T = \frac{2v_0}{g}\) となります。

(3) を使って求めることもできますね。次の2通りに変形すれば OK です。\[\begin{eqnarray*} x &=& -\frac{g}{2}\left(t - \frac{v_0}{g}\right)^2 + \frac{v_0\!^2}{2g} \\ &=& -\frac{g}{2}\,t\left(t - \frac{2v_0}{g}\right) \end{eqnarray*}\]

微積分の言葉を使って運動方程式を捉えると・・・

ところで,上の (1) から (2) と (3) をどのように求めていますか? 高校で物理を学んだときには,公式として覚えたという方もいるでしょうし,積分を使ったという方もいるでしょう。しかし,物理に関して更に勉強しようとしたり,機械や電気などの工学を勉強しようとしたりすると,微積分を使って考えられなければ先に進むことはできません。

ある物体が直線上を動くとき,適当な座標軸を設けて物体の位置を関数 \(x(t)\) と表せば,物体の速度 \(v(t)\) と加速度 \(a(t)\) とは\[v(t) = \frac{d}{dt}\,x(t) \qquad a = \frac{d}{dt}\,v(t) = \frac{d^2 }{dt^2}\,x(t)\]と表すことができます。このことは数学でも触れますよね。

したがって,例題1 について地上の位置を原点として鉛直上方の向きに \(x\) 軸をとれば,(1) の式は微分の記号を使って次のように書けます。\[\frac{d^2 x}{dt^2} = -g \tag{1'}\]この式から \(x\) を求めれば,この物体の運動を明らかにできます。

(1') の両辺を時間 \(t\) で積分します。\[\begin{eqnarray*} \int \frac{dx^2}{dt^2}\,dt &=& \int (-g )\, dt \\ \frac{dx}{dt} &=& -gt + C \end{eqnarray*}\]\(t = 0\)\(\displaystyle \frac{dx}{dt} = v_0\) ですから ― これを初期条件といいます ― \(C = v_0\) と積分定数が決まります。つまり\[\frac{dx}{dt} = -gt + v_0 \tag{2'}\]です。(2') の両辺を更に \(t\) で積分すると\[\begin{eqnarray*} x &=& \int \left(-gt + v_0\right)\,dt \\ &=& -\frac{1}{2}\,gt^2 + v_0 t + C \end{eqnarray*}\]となります。\(t = 0\) で物体が地上にあることから \(C = 0\) となって\[x = -\frac{1}{2}\,gt^2 + v_0 t\]を得ます。

(1') や (2') は,\(x\) の導関数,2階導関数を含む方程式です。このような方程式を 微分方程式 といい,微分方程式を満たす関数を求めることを 微分方程式を解く といいます。また,微分方程式の解のうち,積分定数(任意定数)を含むものを 一般解 といい,初期条件などから任意定数の値が定まっているものを 特殊解 といいます。

単振動を表す微分方程式

この例だけでは,微分方程式は積分していけば解けるのでないか? と考えてしまいますが,微分方程式を解くことは,それほど簡単なことではありません。ここで,単振動の運動方程式を微分方程式として表してみましょう。

単振動は,物体の位置を \(x\) で表したとき,物体の受ける力 \(F\)\[F = -kx\]となる運動です。したがって,物体の質量を \(m\) として,単振動を表す微分方程式は次のようになります。\[m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx\]さて,この式の両辺を \(t\) で積分することを考えましょう。右辺が未知の関数である \(x\) を含んでいます。これでは,\(t\) で積分して \(x\) を求めることができません。

ここまでの話しで,物体の運動を明らかにするためには運動方程式を微分方程式と見なして解けばよい,逆の見方をすると微分方程式が解ければ様々な運動を明らかにすることができるとお分かりいただけたと思います。単振動の運動方程式などを微分方程式として解けるように,微分方程式の解法の基本を勉強していきましょう。

最終更新日時: 2021年 08月 2日(月曜日) 16:42