同次形微分方程式

例題３－１　微分方程式\[\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y} \tag{3.1}\]　を解きましょう。

解　答

(3.1) は，変数分離形の微分方程式ではありません。どのように考えればイイのでしょうか？　まずは解いてみますので，解き方を見ていてください。

\(\displaystyle \frac{y}{x} = u\) とおきます。すると \(y = ux\) です。この両辺を \(x\) で微分します。\[\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}\cdot x + u\]したがって，(3.1) は次のように変形できます。\[\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}\cdot x + u &=& \frac{x - ux}{x + ux} \\ \frac{du}{dx}\cdot x &=& \frac{1 - u}{1 + u} - u \\ \frac{du}{dx}\cdot x &=& \frac{1 - 2u - u^2}{1 + u} \end{eqnarray*}\]\(u = -1 \pm \sqrt{2}\) ではないとき\[\begin{eqnarray*} \int\frac{2u + 2}{u^2 + 2u - 1}\,du &=& -2\int\frac{1}{x}\,dx \\[4px] \int\frac{(u^2 + 2u - 1)'}{u^2 + 2u - 1}\,du &=& -2\log|\,x\,| + C \\[4px] \log\,\left|\,u^2 + 2u - 1\,\right| &=& \log\frac{e^C}{x^2} \\[4px] \mbox{∴}\quad u^2 + 2u - 1 &=& \frac{C}{x^2}\quad (\pm e^C\ \rightarrow\ C) \\[4px] \left(\frac{y}{x}\right)^2 + 2\cdot\frac{y}{x} - 1 &=& \frac{C}{x^2} \\[4px] y^2 + 2xy - x^2 &=& C \tag{3.2}\end{eqnarray*}\]\(u = -1 \pm \sqrt{2}\) すなわち \(y = \left(-1 \pm \sqrt{2}\right)x\) も (3.1) の解ですが，これらは (3.2) に含まれます。したがって，求める解は次のようになります。\[y^2 + 2xy - x^2 = C\]

いかがでしょうか？ \(\displaystyle \frac{y}{x} = u\) の置き換えにより，微分方程式 (3.1) が変数分離形に帰着できることはお分かりいただけたものと思います。

同次形微分方程式

さて，次の問題は どのようなときに \(\displaystyle \frac{y}{x} = u\) の置き換えが有効か？ です。\(\displaystyle \frac{y}{x} = u\) の置き換えにより変数分離形に変形できる微分方程式を 同次形微分方程式 とよびます。どのようにしたら，ある微分方程式が同次形であることを見抜けるのでしょうか？　１つのヒントを示そうと思います。次の式を見てください。\[x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3 \tag{3.3}\]この式は３次式ですが，ある特徴をもった３次式です。\(\left(x + y\right)^3\) の展開式!! や 対称式!! と思った方もいらっしゃるでしょう。確かにそうです。ただここでは，もう少し違った見方をします。各項の次数に着目しましょう。

\(x^3\) は３次，\(3x^2y\) も３次，\(3xy^2\) も３次，\(y^3\) も３次です

そうです。すべての項が３次である３次式です。このような式を同次多項式といいます。(3.3) は３次の同次多項式です。ところで，微分方程式 (3.1) の右辺は，分母分子ともに１次の同次多項式です。ということは，分母分子を \(x\) で割れば，\(\displaystyle \frac{y}{x}\) を使って表すことができます。\[\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y} = \frac{\displaystyle 1 - \frac{y}{x}}{\displaystyle 1 + \frac{y}{x}} \tag{3.1}\]

同次形微分方程式の典型的な形です。「これが同次形」というものではありませんが，まず，この形から始めるということでよろしいのではないでしょうか。

例題３－２　微分方程式\[\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \tag{3.4}\]　を解きましょう。

解　答

(3.4) の右辺は，分母分子ともに２次の同次多項式です。分母分子をともに \(x^2\) で割ると\[\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle 1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}{\displaystyle \frac{y}{x}}\]となります。そこで，\(\displaystyle \frac{y}{x} = u\) とおくと\[\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dx}(ux) = \frac{1 + u^2}{u} \\[4px] &&\frac{du}{dx}\cdot x + u = \frac{1 + u^2}{u} \\[4px] &&\frac{du}{dx}\cdot x = \frac{1 + u^2}{u} - u \\[4px] &&\frac{du}{dx}\cdot x = \frac{1}{u} \\[4px] \mbox{∴}\quad &&\int u\,du = \int \frac{1}{x} \,dx \\[4px] &&\frac{1}{2}u^2 = \log|\,x\,| + C \\[4px] &&\frac{y^2}{x^2} = 2\log|\,x\,| + 2C \\[4px] \mbox{∴}\quad &&y^2 = x^2\left(\log x^2 + C\right)\\ &&(2C\ \mbox{を改めて}\ C\ \mbox{と書きました}) \end{eqnarray*}\]

置き換えにより変数分離型に帰着できる微分方程式

置き換えにより変数分離型に帰着できる微分方程式は，同次形だけではありません。ここでは，同次形以外の例を一つだけ紹介しておきます。

例題３－３　微分方程式\[\frac{dy}{dx} = x + y \tag{3.5}\]　を解きましょう。

解　答　\(x + y = u\) とおくと\[\begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dx}(u - x) = u \\ &&\frac{du}{dx} - 1 = u \\ &&\frac{du}{dx} = u - 1\quad\mbox{（変数分離型になりました）} \end{eqnarray*}\]\(u = 1\) ではないとき\[\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{u - 1}\,du &=& \int dx \\[4px] \log|\,u - 1\,| &=& x + C \\[4px] |\,u - 1\,| &=& e^{x + C} \\[4px] \mbox{∴}\hspace{1.2em} u - 1 &=& \pm e^C \cdot e^x \\[4px] x + y - 1 &=& Ce^x\quad(\pm e^C\ \mbox{を改めて}\ C\ \mbox{と書きました}) \\[4px] \mbox{∴}\hspace{3em} y &=& Ce^x - x + 1 \tag{3.6} \end{eqnarray*}\]\(u = 1\) すなわち \(y = -x + 1\) も (3.5) の解ですが，これは (3.6) にふくまれるので，求める解は\[y = Ce^x - x + 1\]

問題演習

課題３－１　次の微分方程式を解きましょう。

1.　\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{10x - 3y}{3x - y}\)　解答 隠す

2.　\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}\)　解答 隠す

3.　\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4y^3 - x^3}{3xy^2}\)　解答 隠す

4.　\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^4 + y^2}{xy}\)　\(\Big[\)これも \(\displaystyle\frac{y}{x} = u\) と置き換えます\(\Big]\)　解答 隠す

\[\begin{eqnarray*} &&\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle x^2 + \frac{y^2}{x^2}}{\displaystyle \frac{y}{x}} \\ \mbox{∴}\quad && \frac{du}{dx}\cdot x + u = \frac{x^2 + u^2}{u}\\[4px] &&\frac{du}{dx}\cdot x = \frac{x^2}{u} \\[4px] \mbox{∴}\quad && \int u\,du = \int x\,dx \\[4px] &&\frac{1}{2}u^2 = \frac{1}{2}x^2 + C \\[4px] && \frac{y^2}{x^2} = x^2 + 2C \\ \mbox{∴}\quad && y^2 = x^4 + Cx^2 \\ && (2C\ \mbox{を改めて}\ C\ \mbox{と書きました)} \end{eqnarray*}\]