線形１階微分方程式

線形微分方程式

\[\frac{d^ny}{dx^n} + a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx}+ a_n(x)y = f(x) \tag{4.1}\]の形の微分方程式を 線形微分方程式 といいます。特に次の (4.2) を 線形１階微分方程式，(4.3) を 線形２階微分方程式 とよびます。\[\begin{eqnarray*} &&y' + a(x)y = f(x) \tag{4.2}　\\[4px] &&y'' + a(x)y' + b(x)y = f(x) \tag{4.3} \end{eqnarray*}\]本時は，線形１階の微分方程式について解法を学びます。(4.1) において，\(f(x) = 0\) ならば変数分離形ですから，\(f(x) \ne 0\) の場合を考えます。例えば，\[\begin{eqnarray*} &&y' + \frac{1}{x}\cdot y = e^x \tag{4.4} \\[4px] &&y' + 2xy = 2x \tag{4.5} \end{eqnarray*}\]のような微分方程式です。

ヒントは積の導関数の公式

例題４－１　\(\displaystyle y' + \frac{1}{x}\cdot y = e^x\)

それでは，(4.4) の解法から考えましょう。このままでは，どうすればよいか手掛かりが全くありません。そこで (4.4) の両辺に \(x\) を掛けるというヒントを皆さんに差し上げようと思います。すると\[xy' + y = xe^x\]となります。左辺をよ～く見てください。何か感じませんか？ ― 感じる や イマジネーション が数学にはとても大切だと思うのです。\[(xy)' = xy' + 1\cdot y = xy' + y \tag{4.4'}\]積の導関数を思いついた方・・・大正解です。(4.4') は次のようになっています。\[(xy)' = xe^x\]この両辺を \(x\) で積分します。\[\begin{eqnarray*} xy &=& \int xe^x\,dx \\ &=& \int x(e^x)'\,dx \\ &=& xe^x - \int e^x\,dx \\ &=& xe^x - e^x + C \\ \mbox{∴}\quad y &=& e^x - \frac{e^x}{x} + \frac{C}{x} \end{eqnarray*}\]

例題４－２　\(y' + 2xy = 2x\)

(4.5) についても２匹目のどじょうを狙うことにしましょう。じっと左辺を見て感じましょう。

ん～ん，今度は簡単にいきませんねぇ。左辺が何かの導関数になるように変形できれば，右辺を積分するだけなのですが・・・

例題４－１ と同様に何かを掛ければよいのでしょうか？　例えば，掛ける式を \(\mbox{□}\) とおけば\[\mbox{□}\cdot y' + \mbox{□}\cdot 2x \cdot y = \mbox{□}\cdot 2x\]ということは・・・ボンヤリ見えてきましたよ。\[\left(\mbox{□}\cdot y\right)' = \mbox{□}\cdot y' + \left(\mbox{□}\cdot 2x\right) \cdot y\]ですから・・・　　\(\displaystyle \mbox{□}' = \mbox{□}\cdot 2x\) です。

\(\mbox{□}\) を微分しても \(\mbox{□}\) が現れる・・・指数関数ですねぇ。さらに \(2x\) が掛けられているということは\[\mbox{□} = e^{x^2}\]これです。見つけました。

それでは，(4.5) の両辺に \(e^{x^2}\) を掛けましょう。\[\begin{eqnarray*} &e^{x^2} y' + (e^{x^2}\cdot 2x)y = 2x e^{x^2}& \\ &\left(e^{x^2}y\right)' = 2xe^{x^2}& \end{eqnarray*}\]つづいて，両辺を \(x\) で積分します。\[\begin{eqnarray*} e^{x^2}y &=& \int 2xe^{x^2}\,dx \\[4px] &=& \int e^{x^2}\cdot (x^2)'\,dx \\[4px] &=& e^{x^2} + C \\[4px] \mbox{∴}\quad y &=& 1 + Ce^{-x^2} \end{eqnarray*}\]

積分因子

ここまでの考察をまとめておきましょう。線形１階の微分方程式\[y' + a(x)y = f(x) \tag{4.2}\]について，\(\displaystyle h(x) = e^{\int a(x)\,dx}\) とすると \(h'(x) = h(x)\cdot a(x)\) となるので，\(h(x)\) を (4.2) の両辺に掛けて\[\begin{eqnarray*} &h(x)y' + h(x)\cdot a(x)y = h(x)f(x)& \\[4px] &h(x)y' + h'(x)y = h(x)f(x)& \\[4px] &\left(h(x)\cdot y\right)' = h(x)f(x)&\end{eqnarray*}\]ここまで来れば，あとは右辺を積分できるかどうかの問題になります。

積分因子を使って解いてみましょう

例題４－３　線形１階微分方程式\[y' + y = x\]　を解きましょう。

解　答

まず，\(y\) の係数である \(1\) を積分します。\(\displaystyle \int dx = x\) （このとき積分定数を付ける必要はありません）となって，積分因子は \(h(x) = e^x\) です。したがって，\[\begin{eqnarray*} &e^x y' + e^x y = xe^x& \\[4px] &\mbox{∴}\quad\left(e^x y\right)' = xe^x& \end{eqnarray*}\]両辺を \(x\) で積分しましょう\[\begin{eqnarray*} e^x y &=& \int xe^x\,dx \\[4px] &=& \int x(e^x)' \,dx \\[4px] &=& xe^x - \int e^x \,dx \\[4px] &=& xe^x - e^x + C \\[4px] \mbox{∴}\quad y &=& x - 1 + Ce^{-x} \end{eqnarray*}\]

例題４－４　線形１階微分方程式\[y' + y\tan x = 1\]　を解きましょう。

解　答

\(\displaystyle \int \tan x\,dx = -\log|\,\cos x\,|\) なので，積分因子は \[h(x) = e^{-\log\cos x} = e^{\log\frac{1}{\cos x}} = \frac{1}{\cos x}\]したがって\[\begin{eqnarray*} && \frac{1}{\cos x} \left(y' + y\tan x\right) = \frac{1}{\cos x} \\[4px] && \frac{1}{\cos x}\cdot y' + \frac{\sin x}{\cos^2 x}\cdot y = \frac{1}{\cos x} \\[4px] && \left(\frac{y}{\cos x}\right)' = \frac{1}{\cos x} \\[4px] \mbox{∴}\quad && \frac{y}{\cos x} \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \int \frac{1}{\cos x} \,dx \\[4px] \displaystyle = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x}\,dx \\ \displaystyle = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x}\,dx \\ \displaystyle = \int \frac{\cos x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}\,dx \\ \displaystyle = \int \frac{1}{2}\left\{\frac{-(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} + \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} \right\}\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \left\{-\log\left(1 - \sin x\right) + \log\left(1 + \sin x\right)\right\} + C \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \log\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} + C \end{array} \\[4px] \mbox{∴}\quad && y = \cos x \left(\log\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} + C\right) \end{eqnarray*}\]

問題演習

課題４－１　次の微分方程式を解きましょう。

1.　\(y' - y = e^x\)　解答 隠す

2.　\(y' - y\tan x = \cos x\)　解答 隠す

3.　\(\displaystyle y' - \frac{1}{x}\cdot y = x\log x\)　解答 隠す

4.　\(y' - 2y = \sin x\)　解答 隠す