全微分型微分方程式の積分因子

まず，全微分型微分方程式

\[\left(2y^2 - xy\right)dx + \left(x^2 - 2xy\right)dy = 0 \tag{1}\]

を考えてみましょう

\(f(x,\ y) = 2y^2 - xy\ ,\quad g(x,\ y) = x^2 - 2xy\)

とすると

\(f_y(x,\ y) = 4y - x\ ,\quad g_x(x,\ y) = 2x - 2y\)

ですから，完全微分方程式ではありません。ところが，\(\displaystyle h(x) = \frac{1}{x^3}\) として \((1)\) の両辺に \(h(x)\) を掛けると

\[\displaystyle \left(\frac{2y^2}{x^3} - \frac{y}{x^2}\right)dx + \left(\frac{1}{x} - \frac{2y}{x^2}\right)dy = 0 \tag{1'}\]

となって，ここで改めて

\(\displaystyle f(x,\ y)= \frac{2y^2}{x^3} - \frac{y}{x^2}\ ,\quad g(x,\ y) = \frac{1}{x} - \frac{2y}{x^2}\)

とすると，あ～ら不思議!!

\(\displaystyle f_y(x,\ y) = \frac{4y}{x^3} - \frac{1}{x^2}\ ,\quad g_x(x,\ y) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4y}{x^3}\)

となって，完全微分方程式になっています。したがって

\[\begin{array}{l}\displaystyle F(x,\ y) = \int\left(\frac{2y^2}{x^3} - \frac{y}{x^2}\right)dx = -\frac{y^2}{x^2} + \frac{y}{x} + G(y)\\ \displaystyle ∴\quad F_y(x,\ y) = -\frac{4y}{x^2} + \frac{1}{x} + G'(y) \\[2px] \displaystyle ∴\quad G'(y) = 0\quad ∴\quad G(y) = C \end{array}\]

したがって，以上から

\[\begin{array}{l} \displaystyle F(x,\ y) = -\frac{y^2}{x^2} + \frac{y}{x} + C = 0 \\[2px] \displaystyle ∴\quad \frac{y^2}{x^2} - \frac{y}{x} = C \end{array}\]

つまり，完全微分方程式ではない全微分型微分方程式も，完全微分方程式に変形して解くことができるということですね。そして，そのときに両辺に掛ける式（この場合は \(h(x)\)）を 積分因子 といいます。非斉次の線形１階微分方程式の解法と似ていますね。ただし，線形１階の場合の積分因子が比較的簡単に求められたのに対して，全微分型の積分因子は簡単に求めることができないのです。

な～んだ!! それじゃ意味ないじゃん!!

その通りなのですが，上で見た例 \((1)\) のように \(x\) のみで表される積分因子や \(y\) のみで表される積分因子が存在する場合には，線形１階の場合と同様に機械的に求めることができます。

そこで，\(x\) のみ又は \(y\) のみで表される積分因子をもつ全微分型微分方程式を考えることにしましょう。

今，次の全微分型微分方程式 \((2)\) が \(x\) のみの関数 \(h(x)\) を積分因子にもつと仮定します。

\[f(x,\ y)\,dx + g(x,\ y)\,dy = 0 \tag{2}\]

つまり

\(f(x,\ y)h(x)\,dx + g(x,\ y)h(x)\,dy = 0\)

が完全微分方程式になっているということです。したがって

\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}f(x,\ y)h(x) = \frac{\partial}{\partial x}g(x,\ y)h(x)\)

が成り立ちます。ですから\[\begin{array}{l} \displaystyle f_y(x,\ y)h(x) = g_x(x,\ y)h(x) + g(x,\ y)h'(x) \\[2px] \displaystyle \frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{f_y(x,\ y) - g_x(x,\ y)}{g(x,\ y)} \end{array}\]

ん～ん!!　\(\displaystyle \frac{f_y(x,\ y) - g_x(x,\ y)}{g(x,\ y)}\)　が \(x\) のみの式になっているということですね。しかも，そのとき\[\begin{array}{l} \displaystyle \log\left|\,h(x)\,\right| = \int\frac{f_y(x,\ y) - g_x(x,\ y)}{g(x,\ y)}\,dx \\[2px] \displaystyle h(x) = \mbox{exp}\left(\int\frac{f_y(x,\ y) - g_x(x,\ y)}{g(x,\ y)}\,dx\right) \end{array}\]を積分因子として使えることが分かりました。（指数表記にすると，肝心な部分が小さくなってしまいますので，\(\mbox{exp}\) 関数を使って書きました。加えて，積分因子は一つ見つかればよいので，絶対値を外すときの \(\pm\) は敢えてつけませんでした。）

同様に，\(\displaystyle \frac{g_x(x,\ y) - f_y(x,\ y)}{f(x,\ y)}\) が \(y\) のみの式になっているときには\[\displaystyle h(y) = \mbox{exp}\left(\int\frac{g_x(x,\ y) - f_y(x,\ y)}{f(x,\ y)}\,dy\right)\]を積分因子として使えるということです。

例えば

\[\left(2y^2 - xy\right)dx + \left(x^2 - 2xy\right)dy = 0 \tag{1}\]

であれば，\(f(x,\ y) = 2y^2 - xy\ ,\quad g(x,\ y) = x^2 - 2xy\) とおいて，最初に計算したように\[\begin{array}{l} \displaystyle f_y(x,\ y) - g_x(x,\ y) = 6y - 3x\\[2px] \displaystyle ∴\quad \frac{f_x(x,\ y) - g_y(x,\ y)}{g(x,\ y)} = \frac{6y - 3x}{x(x - 2y)} = -\frac{3}{x} \\[2px] \displaystyle ∴\quad h(x) = \mbox{exp}\left(\int\left(-\frac{3}{x}\right)dx\right) = \mbox{exp}\left(\log\frac{1}{x^3}\right) = \frac{1}{x^3} \end{array}\]となるので，\(\displaystyle \frac{1}{x^3}\) を積分因子として使えることが分かります。

申し訳ありません。今回は，自分の備忘録的に書きましたので，演習問題はなしです。