未定係数法

今回から非斉次の微分方程式 \[y'' + ay' + by = f(x) \tag{9.1}\] を扱います。斉次の微分方程式については，特性方程式を用いて簡単に解を求められるようになりました。それに比べると，非斉次微分方程式の解法には手間がかかりますが，一つずつマスターしていきましょう。

基本解・特殊解・一般解

斉次微分方程式 \[y'' + ay' + by = 0 \tag{9.2}\] の解を \[y = C_1 \phi(x) + C_2 \psi(x) \tag{9.3}\] とします。\((9.1)\) の特殊解（未定係数を含まない解）\(v(x)\) が１つ見つかれば，\((9.1)\) の一般解は次のようになります。 \[y = C_1 \phi(x) + C_2 \psi(x) + v(x) \tag{9.4}\] つまり，\((9.2)\) の一般解に \((9.1)\) の特殊解を加えたものが \((9.1)\) の一般解です。

まず，このことを確かめましょう。\((9.4)\) が \((9.1)\) を満たすことは明らかですから，逆に，\((9.1)\) を満たす \(y\) がすべて \((9.4)\) で表されることを示します。

\(v(x)\) は \((9.1)\) の解ですから \[v''(x) + av'(x) + bv(x) = g(x) \tag{9.5}\] が成り立ちます。\((9.1) - (9.4)\) から \[\begin{eqnarray*} && y'' - v''(x) + a\left(y' - v'(x)\right) + b\left(y - v(x)\right) = 0 \\[4px] ∴\quad && \left(y - v(x)\right)'' + a\left(y - v(x)\right)' + b\left(y - v(x)\right) = 0 \end{eqnarray*}\] したがって，\(y - v(x)\) は \((9.2)\) の解であり \[\begin{eqnarray*} && y - v(x) = C_1 \phi(x) + C_2 \psi(x) \\[4px] ∴\quad && y = C_1 \phi(x) + C_2 \psi(x) + v(x) \end{eqnarray*}\]なお，\(\phi(x)\) と \(\psi(x)\) を \((9.1)\) の基本解といいます。

このことから，線形２階非斉次微分方程式 \((9.1)\) を解くということは，特殊解を１つ見つけることに他ならないと分かります。特殊解を見つける手段として，未定係数法，定数変化法，微分演算子を順に見ていきます。本時は，未定係数法と呼ばれる解法を紹介します。

未定係数法

例題９－１　微分方程式 \[y'' - 5y' + 6y = x \tag{9.6}\] の特殊解を　\(y = Ax + B\)　として，定数 \(A\) と \(B\) を決定し \((9.6)\) の一般解を求めましょう。

解　答

まず，基本解を求めます。特性方程式 \(\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\) を解いて，\(\lambda = 2,\ 3\) を得るので基本解は \(e^{2x}\) と \(e^{3x}\) です。

次に，\(y = Ax + B\) を \((9.6)\) に代入します。 \[\begin{eqnarray*} -5A + 6Ax + 6B &=& x \\[4px] 6Ax - 5A + 6B &=& x \end{eqnarray*}\] となります。この式の両辺を比較して，\(A\) と \(B\) の値を決定します。 \[\left\{\begin{array}{l} 6A = 1 \\[4px] -5A + 6B = 0 \end{array}\right. \qquad ∴ \quad \left\{\begin{array}{l} \displaystyle A = \frac{1}{6} \\ \displaystyle B = \frac{5}{36} \end{array}\right.\] よって，一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{1}{6}x + \frac{5}{36}\]

例題９－２　微分方程式\[y'' - 5y' + 6y = e^x \tag{9.7}\] 　の一般解を求めましょう。

解　答

基本解は 例題９－１ と同じですが，例題９－１ に比べると何となく突き放されたように気になる問いです，特殊解の形が示されていないので。

未定係数法の１番のポイントです。方程式 \((9.1)\) の \(f(x)\) から特殊解の形を予測しなければなりません。例題９－１ は１次式でしたから，特殊解を \(Ax + B\) とおきました。もし，これで \(A\) と \(B\) が決まらなければ，次に \(Ax^2 + Bx + C\) ではどうか？　とある意味，試行錯誤をすることになります。

指数関数は \((e^x)' = e^x\) が成り立ちますから，特殊解として \(y = Ae^x\) が考えられます。 \[y = Ae^x\ ,\quad y' = Ae^x\ ,\quad y'' = Ae^x\]を \((9.7)\) に代入して整理します。 \[\begin{eqnarray*} & Ae^x - 5Ae^x + 6Ae^x = e^x & \\[4px] & 2Ae^x = e^x & \\[4px] & ∴\quad A = \frac{1}{2} & \end{eqnarray*}\] 上手くいきました。したがって，\((9.7)\) の一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{1}{2}e^x\]

例題９－３　微分方程式 \[y'' - 5y' + 6y = e^{2x} \tag{9.8}\] 　の一般解を求めましょう。

解　答

例題９－２ と同じじゃん・・・と思ったら大間違いです。\(Ae^{2x}\) を \((9.8)\) に代入します。 \[\begin{eqnarray*} & 4Ae^{2x} - 5\cdot 2Ae^{2x} + 6Ae^{2x} = e^{2x} & \\[4px] & 0 = e^{2x} & \end{eqnarray*}\] 駄目ですね。\(e^{2x}\) は基本解の１つですから，\((9.8)\) の左辺に代入したときに \(0\) になるのは当然です。次に考える特殊解は \(y = Axe^{2x}\) です。 \[\left\{\begin{array}{l} y' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x} = A(2x + 1)e^{2x} \\[4px] y'' = A\{2 + 2(2x + 1)\}e^{2x} = 4A(x + 1)e^{2x} \end{array}\right.\] となって，これを \((9.8)\) に代入します。 \[\begin{eqnarray*} & 4A(x + 1)e^{2x} - 5A(2x + 1)e^{2x} + 6Ae^{2x} = e^{2x} & \\[4px] & (4A - 10A + 6A)xe^{2x} + (4A - 5A)e^{2x} = e^{2x} & \\[4px] & -Ae^{2x} = e^{2x} & \\[4px] & ∴\quad A = -1 & \end{eqnarray*}\] 今度は上手くいきました。計算の途中経過を見れば納得できますね。したがって，\((9.8)\) の一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} - xe^{2x}\]

例題９－４　微分方程式 \[y'' - 5y' + 6y = \sin x \tag{9.9}\] 　の一般解を求めましょう。

解　答

三角関数になったらどうでしょうか？　まずは，特殊解の形を予想しましょう。 \[y = A\sin x + B\cos x\] このようなものが考えられますが・・・。やってみましょう。 \[\begin{eqnarray*} & \left\{\begin{array}{l} y' = -B\sin x + A\cos x \\[4px] y'' = -A\sin x - B\cos x \end{array}\right. & \\[4px] & ∴\quad -A\sin x - B\cos x - 5(-B\sin x + A\cos x) \hspace{5em} & \\ & \hspace{5em} + 6(A\sin x + B\cos x) = \sin x & \\[4px] & 5(A + B)\sin x - 5(A - B)\cos x = \sin x & \\[4px] & ∴\quad A + B = \frac{1}{5} \ ,\quad A - B = 0 & \\[4px] & ∴\quad A = B = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}\] したがって，\((9.9)\) の一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{\sin x + \cos x}{10}\]

問題演習

課題９－１

次の線形２階非斉次微分方程式について，\((\quad)\) 内の関数を特殊解として一般解を求めましょう。

未定係数法は，考え方が分かり易いので，特殊解の形が分っている場合や容易に予測できる場合に有効な解法です。一方で，特殊解の形が予想できない場合には使えないという欠点があります。