定数変化法
本日のお題
線形２階非斉次微分方程式の特殊解を求める手段として，定数変化法を理解します。
前回示したとおり，線形２階非斉次微分方程式 \[y'' + ay' + by = f(x) \tag{10.1}\] の一般解は，基本解を \(\phi(x)\) と \(\psi(x)\)，特殊解を \(v(x)\) として \[y = C_1 \phi(x) + C_2 \psi(x) + v(x)\] と表されます。何とかして特殊解 \(v(x)\) を求めることができれば，一般解が決まります。本時は，定数変化法という方法で特殊解を求めます。
定数変化法
定数変化法は，基本解を \(\phi(x)\) と \(\psi(x)\) とし特殊解を \[v(x) = A(x)\phi(x) + B(x)\psi(x) \tag{10.2}\] とおいて，関数 \(A(x)\) と \(B(x)\) を求めよう，というものです。
まず，\(v'(x)\) と \(v''(x)\) を求めます。 \[\begin{eqnarray*} v'(x) &=& A'(x)\phi(x) + A(x)\phi'(x) \\ && \hspace{2em} + B'(x)\psi(x) + B(x)\psi'(x) \tag{10.3} \\[4px] v''(x) &=& A''(x)\phi(x) + 2A'(x)\phi'(x) + A(x)\phi''(x) \\ && \hspace{2em} + B''(x)\psi(x) + 2B'(x)\psi'(x) + B(x)\psi''(x) \tag{10.4} \end{eqnarray*}\] ここで \((10.3)\) と \((10.4)\) を \((10.1)\) に代入しますが，基本解 \(\phi(x)\) と \(\psi(x)\) は同次微分方程式 \[y'' + ay' + by = 0\] の解であることから \[\left\{\begin{array}{l} \phi''(x) + a\phi'(x) + b\phi(x) = 0 \\ \psi''(x) + a\psi'(x) + b\psi(x) = 0 \end{array}\right.\] が成り立つことに注意します。 \[\begin{eqnarray*} && v''(x) + a v'(x) + b v(x) = f(x) \\[4px] && A''(x)\phi(x) + 2A'(x)\phi'(x) + A(x)\phi''(x) \\ && \quad + B''(x)\psi(x) + 2B'(x)\psi'(x) + B(x)\psi''(x) \\ && \quad + a\{A'(x)\phi(x) + A(x)\phi'(x) \\ && \quad + B'(x)\psi(x) + B(x)\psi'(x)\} \\ && \quad + b\{A(x)\phi(x) + B(x)\psi(x)\} = f(x) \\[4px] && A(x)\{\phi''(x) + a\phi'(x) + b\phi(x)\} \\ && \quad + B(x)\{\psi''(x) + a\psi'(x) + b\psi(x)\} \\ && \quad + A''(x)\phi(x) + B''(x)\psi(x) \\ && \quad + 2\{A'(x)\phi'(x) + B'(x)\psi'(x)\} \\ && \quad + a\{A'(x)\phi(x) + B'(x)\psi(x)\} = f(x) \\[4px] && A''(x)\phi(x) + B''(x)\psi(x) + 2\{A'(x)\phi'(x) + B'(x)\psi'(x)\} \\ && \quad + a\{A'(x)\phi(x) + B'(x)\psi(x)\} = f(x) \tag{10.5}\end{eqnarray*}\] 少々乱暴な言い方をすると，特殊解というのは「何でもイイから兎に角成り立っているもの」です。そこで，特殊解 \(v(x)\) に \[A'(x)\phi(x) + B'(x)\psi(x) = 0 \tag{10.6}\] を満たすものという条件を付けてしまいます。すると \((10.5)\) は \[\begin{eqnarray*} && A''(x)\phi(x) + B''(x)\psi(x) \\ && \hspace{3em} + 2\{A'(x)\phi'(x) + B'(x)\psi'(x)\} = f(x) \tag{10.7}\end{eqnarray*}\] となります。さらに，\((10.6)\) の両辺を \(x\) で微分すると \[\begin{array}{ll}A''(x)\phi(x) + A'(x)\phi'(x) + B''(x)\psi(x) + B'(x)\psi'(x) = 0 \\[4px] A''(x)\phi(x) + B''(x)\psi(x) = - A'(x)\phi'(x) - B'(x)\psi'(x) \end{array}\] したがって，\((10.7)\) は次のようになります。 \[A'(x)\phi'(x) + B'(x)\psi'(x) = f(x) \tag{10.8}\] 結局，\(A(x)\) と \(B(x)\) は，\((10.6)\) と \((10.8)\) から \[\left\{\begin{array}{l} \phi(x)A'(x) + \psi(x)B'(x) = 0 \\[4px] \phi'(x)A'(x) + \psi'(x)B'(x) = f(x)\end{array}\right. \tag{10.9}\] を満たすものを求めればよい，ということになります。
\(A'(x)\) と \(B'(x)\) について解くと， \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle A'(x) = \frac{-\psi(x)f(x)}{\phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x)} \\[4px] \displaystyle B'(x) = \frac{\phi(x)f(x)}{\phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x)}\end{array}\right.\] となります。
ここで心配になることは「\(\phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x) = 0\) となることはないか？」ですが，\((10.1)\) を解く限り \(0\) になることはありません。
線形２階非斉次微分方程式 \(y'' + ay' + by = f(x)\) について，\(\phi(x)\) と \(\psi(x)\) を基本解として， \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle A'(x) = \frac{-\psi(x)f(x)}{\phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x)} \\[4px] \displaystyle B'(x) = \frac{\phi(x)f(x)}{\phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x)}\end{array}\right.\] を満たす \(A(x)\) と \(B(x)\) を用いて \[v(x) = A(x)\phi(x) + B(x)\psi(x)\] を作ると，\(v(x)\) は特殊解です。
線形代数の言葉で翻訳すると
本講座は，高校数学の範囲で解決するものは高校数学で \(\cdots\) がコンセプトですので，上のような説明になりました。線形代数を学んだ方であれば，もう少しスマートな説明ができます。 \[W = \begin{array}{|cc|} \phi(x) & \psi(x) \\[4px] \phi'(x) & \psi'(x)\end{array}\] はロンスキー行列式です。連立方程式 \((10.9)\) の解は，クラメールの公式から \[A'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\begin{array}{|cc|} 0 & \psi(x) \\ f(x) & \psi'(x) \end{array}}{W} \\[4px] \displaystyle = -\frac{\psi(x)f(x)}{W}\ \end{array} \qquad B'(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{\begin{array}{|cc|} \phi(x) & 0 \\ \phi'(x) & f(x) \end{array}}{W} \\[4px] = \displaystyle \frac{\phi(x)f(x)}{W}\end{array}\] したがって \[v(x) = -\phi(x) \int \frac{\phi(x)f(x)}{W}\,dx + \psi(x) \int \frac{\psi(x)f(x)}{W}\,dx\]
実際にどのように使うのか？
前回未定係数法で解いた微分方程式を，定数変化法で解いてみましょう。
例題10－１ \(y'' - 5y' + 6y = x\)
解 答
基本解は \(\phi(x) = e^{2x}\) と \(\psi(x) = e^{3x}\) です。 \[\begin{array}[t]{l} \phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x) \\[4px] = e^{2x} \cdot 3e^{3x} - 2e^{2x} \cdot e^{3x} \\[4px] = 3e^{5x} - 2e^{5x} \\ = e^{5x}\end{array}\] 特殊解を \(v(x) = A(x)\,e^{2x} + B(x)\,e^{3x}\) とすると \[\begin{array}[t]{l} \displaystyle A'(x) = -\frac{xe^{3x}}{e^{5x}} = -xe^{-2x} \\[4px] \displaystyle B'(x) = \frac{xe^{2x}}{e^{5x}} = xe^{-3x} \end{array}\] よって \[\begin{array}{l} A(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = -\int xe^{-2x}\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2} \int x\cdot(e^{-2x})'\,dx \\ \displaystyle = \frac{1}{2}\left\{xe^{-2x} - \int e^{-2x}\,dx\right\} \\ \displaystyle = \frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} \\ \scriptsize{(このとき，積分定数を付ける必要はありません)}\end{array} \\ \displaystyle B(x) = \int xe^{-3x}\,dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^x \\ ∴\quad v(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \\ \displaystyle = \frac{1}{5}x + \frac{5}{36} \end{array} \end{array}\] したがって，求める一般解は \[y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{1}{6}x + \frac{5}{36}\]
例題10－２ \(y'' + y' - 2y = 3e^x\)
解 答
基本解は \(\phi(x) = e^{x}\) と \(\psi(x) = e^{-2x}\) です。 \[\begin{array}[t]{l} \phi(x)\psi'(x) - \phi'(x)\psi(x) \\[4px] = e^{x} \cdot (-2e^{-2x}) - e^{x} \cdot e^{-2x} \\[4px] = -3e^{-x}\end{array}\] 特殊解を \(v(x) = A(x)\,e^x + B(x)\,e^{-2x}\) とすると \[\begin{array}[t]{l} \displaystyle A'(x) = -\frac{e^{-2}\cdot 3e^x}{-3e^{-x}} = 1 \\[4px] \displaystyle B'(x) = \frac{e^{x}\cdot 3e^x}{-3e^{-x}} = -e^{3x} \end{array}\] よって \[\begin{eqnarray*} && A(x) = \int dx = x \\[4px] && B(x) = -\int e^{3x}\,dx = -\frac{1}{3}e^{3x} \\[4px] && ∴\quad v(x) \begin{array}[t]{l} \displaystyle = x \cdot e^x - \frac{1}{3}e^{3x}\cdot e^{-2x} \\ \displaystyle = xe^{x} - \frac{1}{3}e^x \end{array} \end{eqnarray*}\] したがって，求める一般解は \[y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x} + xe^{x} - \frac{1}{3}e^x\] 最後の項 \(\displaystyle -\frac{1}{3}e^x\) は基本解に含めて \[y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x} + xe^{x}\] と書くこともできます。
定数変化法は，特殊解の形が分かっていなくても使うことができる一方，積分の計算が面倒になる可能性があります。